Hay una gran cantidad de matemáticas de fondo en esta pregunta, por lo que pasará un tiempo antes del remate.
En la mecánica cuántica, no trabajamos con números para representar el estado de un sistema. En su lugar, utilizamos vectores . A efectos de una simple introducción, se puede pensar en un vector como una lista de varios números. Por lo tanto, un número en sí mismo es un vector si dejamos que la longitud de la lista sea uno. Si la longitud de la lista es dos, entonces $(.6, .8)$ es un ejemplo de vector.
El operadores no son cosas como más, menos, multiplicar, dividir. En su lugar, son funciones; toman un vector y sacan otro vector. La multiplicación no es un operador, pero la multiplicación por dos sí lo es. Un operador actúa sobre un vector. Por ejemplo, si el operador "multiplicar por dos" actúa sobre el vector $(.6, .8)$ obtenemos $(1.2, 1.6)$ .
La conmutatividad es una propiedad de dos operadores considerados conjuntamente. No podemos decir "operador $A$ es no conmutativo", porque no lo estamos comparando con nada. En cambio, podemos decir "el operador $A$ y el operador $B$ no se desplazan". Esto significa que el orden en que se aplican es importante.
Por ejemplo, que el operador $A$ sea "cambiar los dos números de la lista" y el operador $B$ sea "restar el primero del segundo". Para ver si estos operadores conmutan, tomamos el vector general $(a,b)$ y aplicar los operadores en diferentes órdenes.
Como ejemplo de notación, si aplicamos el operador $A$ a $(a,b)$ obtenemos $(b,a)$ . Esto se puede escribir $A(a,b) = (b,a)$ .
$$BA(a,b) = (b,a-b)$$
$$AB(a,b) = (b-a,a)$$
Cuando aplicamos los operadores en los distintos órdenes, obtenemos un resultado diferente. Por lo tanto, no son conmutables. El conmutador de los operadores está definido por
$$\textrm{commutator}(A,B) = [A,B] = AB - BA$$
Este es un nuevo operador. Su salida para un vector de entrada dado se define tomando el vector de entrada, actuando sobre él con $B$ y actuando sobre el resultado con $A$ y luego volver al vector original y hacer lo mismo en orden inverso, y luego restar el segundo resultado del primero. Si aplicamos este operador compuesto (a saber: el conmutador) a $(a,b)$ obtenemos (por sustracción utilizando los dos resultados anteriores)
$$(AB - BA)(a,b) = (-a,b)$$
Así que el conmutador de $A$ y $B$ es el operador que multiplica la primera entrada por menos uno.
Un vector propio de un operador es un vector que no cambia cuando actúa sobre él, excepto que el vector puede ser multiplicado por una constante. Todo es un vector propio del operador "multiplicar por dos". Los vectores propios del operador de conmutación $A$ son $\alpha(1,1)$ y $\beta(1,-1)$ con $\alpha$ y $\beta$ cualquier número. Para $(1,1)$ Si el vector no se cambia, el cambio de las entradas no hace nada, por lo que el vector no cambia. Para $(1,-1)$ , cambiando las entradas se multiplica por uno negativo. Por otro lado, si cambiamos las entradas en $(.6,.8)$ para conseguir $(.8,.6)$ el nuevo vector y el antiguo no son múltiplos el uno del otro, por lo que no se trata de un vector propio. El número por el que se multiplica el vector propio cuando actúa el operador se llama su valor propio. El valor propio de $(1,-1)$ es $-1$ Al menos, cuando se trata del operador de conmutación.
En la mecánica cuántica, hay incertidumbre para un estado que no es un eigenvector, y certeza para un estado que es un eigenvector. El valor propio es el resultado de la medición física del operador. Por ejemplo, si el operador de energía actúa sobre un estado (vector) sin incertidumbre en la energía, debemos encontrar que ese estado es un eigenvector, y que su valor propio es la energía del estado. Por otro lado, si hacemos una medida de energía cuando el sistema no está en un estado eigenvectorial, podemos obtener diferentes resultados posibles, y es imposible predecir cuál será. Obtendremos un valor propio, pero es el valor propio de algún otro estado, ya que nuestro estado no es un eigenvector y ni siquiera tiene un valor propio. El valor propio que obtengamos depende del azar, aunque se pueden calcular las probabilidades.
El principio de incertidumbre establece, a grandes rasgos, que los operadores no conmutativos no pueden tener ambos incertidumbre cero al mismo tiempo porque no puede haber un vector que sea un vector propio de ambos operadores. (En realidad, veremos en un momento que esto no es precisamente correcto, pero se entiende lo esencial. Realmente, los operadores cuyos conmutadores tienen una incertidumbre nula espacio nulo no puede tener un vector propio simultáneo).
El único vector propio del operador de sustracción $B$ es $\gamma(0,1)$ . Mientras tanto, los únicos vectores propios del operador de cambio $A$ son $\alpha(1,1)$ y $\beta(1,-1)$ . No hay vectores que sean vectores propios de ambos $A$ y $B$ al mismo tiempo (excepto el trivial $(0,0)$ ), por lo que si $A$ y $B$ representaban observables físicos, no podíamos estar seguros de ambos $A$ y $B$ al mismo tiempo. ( $A$ y $B$ no son realmente observables físicos en QM, sólo los elegí como ejemplos simples).
Nos gustaría ver que esto funciona en general: cada vez que dos operadores no conmutan (con ciertas restricciones), no tienen ningún vector propio simultáneo. Podemos demostrarlo por contradicción.
Supongamos que $(a,b)$ es un vector propio de $A$ y $B$ . Entonces $A(a,b) = \lambda_a(a,b)$ con $\lambda_a$ el valor propio. Una ecuación similar es válida para $B$ .
$$AB(a,b) = \lambda_a\lambda_b(a,b)$$
$$BA(a,b) = \lambda_b\lambda_a(a,b)$$
Porque $\lambda_a$ y $\lambda_b$ son sólo números que se multiplican, se conmutan, y los dos valores son los mismos. Así,
$$(AB-BA)(a,b) = (0,0)$$
Así que el conmutador de $A$ y $B$ da cero cuando actúa sobre su vector propio simultáneo. Sin embargo, muchos conmutadores no pueden dar cero cuando actúan sobre un vector distinto de cero. (Esto es lo que significa tener un espacio nulo de dimensión cero, mencionado anteriormente). Por ejemplo, nuestros operadores de conmutación y sustracción tenían un conmutador que simplemente multiplicaba el primer número por menos uno. Un conmutador de este tipo no puede dar cero cuando actúa sobre algo que no es cero ya, así que nuestro ejemplo $A$ y $B$ no pueden tener un vector propio simultáneo, por lo que no pueden ser ciertos al mismo tiempo, por lo que existe un "principio de incertidumbre" para ellos.
Si el conmutador hubiera sido el operador cero, que convierte todo en cero, entonces no hay problema. $(a,b)$ puede ser lo que quiera y seguir satisfaciendo la ecuación anterior. Si el conmutador hubiera sido algo que convierte algunos vectores en el vector cero, esos vectores serían candidatos a estados de incertidumbre cero, pero no se me ocurre ningún ejemplo de esta situación en la física real.
En la mecánica cuántica, el ejemplo más famoso del principio de incertidumbre es el de los operadores de posición y momento. Su conmutador es la identidad, el operador que no hace nada a los estados. (En realidad es la identidad veces $i \hbar$ .) Está claro que esto no puede convertir nada en cero, por lo que la posición y el momento no pueden ser ciertos al mismo tiempo. Sin embargo, como su conmutador multiplica por $\hbar$ , un número muy pequeño en comparación con las cosas cotidianas, se puede considerar que el conmutador es casi nulo para los objetos grandes y energéticos. Por lo tanto, tanto la posición como el momento pueden ser casi seguros para las cosas cotidianas.
Por otro lado, los operadores de momento angular y energía se conmutan, por lo que es posible que ambos sean ciertos.
Los operadores no conmutativos más accesibles matemáticamente son los operadores de espín, representados por el Matrices de espín de Pauli . Se trata de vectores con sólo dos entradas. Son un poco más complicados que el $A$ y $B$ operadores que he descrito, pero que no requieren un curso completo de matemáticas de mecánica cuántica para explorarlos.
De hecho, el principio de incertidumbre dice más de lo que he escrito aquí; he omitido algunas partes para simplificar. La incertidumbre de un estado puede cuantificarse a través de la desviación estándar de la distribución de probabilidad para varios valores propios. El principio de incertidumbre completo se suele enunciar
$$\Delta A \Delta B \geq \frac{1}{2}\mid \langle[A,B]\rangle \mid$$
donde $\Delta A$ es la incertidumbre en el resultado de una medición en el observable asociado al operador $A$ y los corchetes indican que se ha encontrado un valor de expectativa . Si quieres algunos detalles sobre esto, escribí unas notas hace un tiempo a las que puedes acceder aquí .
