Agrupación de términos de una serie con el mismo signo

Question

Dejemos que $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ sea una serie con infinitos términos positivos e infinitos términos negativos, y

dejar $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n$ sea la serie obtenida al agrupar cada cadena de términos consecutivos con el mismo signo.

Por ejemplo, dejemos que $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n=1+1-2-2+3+3+3+3-4-4-4+5-6-6+\cdots$ ,

en cuyo caso $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n=(1+1)-(2+2)+(3+3+3+3)-(4+4+4)+(5)-(6+6)+\cdots$

Si $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n$ converge, ¿se deduce que $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ converge a la misma suma?

(Ver Propiedad de la serie (agrupación) para una pregunta similar).

Answer 1

Mientras no se reordenen los términos, las sumas parciales de la serie $\sum b_n$ es sólo una secuencia de algunos de las sumas parciales de $\sum a_n$ en el que uno se detiene después de cada cambio de signo. Esto en sí mismo (como el usuario vadim123 señaló en su comentario) no implica que $\sum a_n$ converge se deduce de $\sum b_n$ convergente. Sin embargo, las sumas parciales de $a_n$ en esta configuración se encuentran entre dos sumas parciales adyacentes del $b_n$ de modo que obtengamos $\sum a_n$ converge desde $\sum b_n$ convergentes. Para ilustrar: $a_n=p_1,p_2,p_3,-p_4,-p_5,p_6,..$ donde cada $p_k$ es positivo. Entonces $b_1=p_1+p_2+p_3$ y $b_2=-p_4-p_5.$ La cuarta suma parcial de $\sum a_n$ es entonces $b_1-p_4$ que se encuentra entre $b_1$ y $b_2=b_1-p_4-p_5.$

Así que SI las sumas parciales de los $b_k$ convergen, también lo hacen las sumas parciales de los $a_k$ utilizando el teorema de la compresión.

Answer 2

Dejemos que $(S_n)$ y $(T_n)$ sean las secuencias de sumas parciales para $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ y $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ respectivamente.

Desde $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ converge, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}T_n=T$ para algún número $T$ ;

por lo que para cualquier $\epsilon>0$ Hay un $N$ tal que $n\ge N\implies |T_n-T|<\epsilon$ .

Entonces $T_N=S_M$ para algunos $M$ ;

y si $m\ge M$ entonces $\;T_n\le S_m<T_{n+1}\;\;$ o $\;\;T_n\ge S_m>T_{n+1}\;$ para algunos $n\ge N$ .

Por lo tanto, $m\ge M\implies |S_m-T|\le \max\{|T_n-T|, |T_{n+1}-T|\}<\epsilon$ ;

así que $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=T$ y por lo tanto $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ converge.