Supongamos que los sustantivos básicos de nuestro lenguaje para describir el mundo físico son los miembros de los grupos de Lie. Vale, es una afirmación que suena pomposa y algo arbitraria, pero mi justificación es que estos objetos describen todo el simetrías continuas puede haber, y casi todas las aclaraciones de la física mediante las matemáticas se hacen o bien (1) viendo un objeto matemático desde un punto de vista diferente (unificación de conceptos hasta ahora aparentemente no relacionados) o (2) explotando las simetrías para reducir o deshacerse de la complejidad redundante en un enunciado. En nuestras descripciones de colectores continuos del mundo físico, estas simetrías son todas continuas. Así, en algún lugar de esa lista de simetrías, nos encontramos con $U(1)$ , $SU(2)$ , $SO(3)$ , $U(N)$ y así sucesivamente. Por lo tanto, es necesario hacer cálculos y simplificaciones con estos objetos cuando explotamos las simetrías de un problema. Ya sea que elijamos o no un objeto como:
$$\left(\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}\right)\in U(1), SU(2), SO(3), U(N) \cdots$$
y darle un símbolo especial $i$ donde $i^2=-1$ es una "cuestión de gustos", por lo que en este sentido el uso de los números complejos no es imprescindible. Sin embargo, es necesario que nos encontremos con este objeto y otros similares y que tengamos que manejar afirmaciones que impliquen tales objetos cuando describamos la física en una variedad continua; no hay forma de evitarlo, ya que pertenece a cualquier descripción completa de las simetrías del Mundo. Así que, en este sentido, los números complejos, los cuaterniones, los octoniones y demás están ahí y son esenciales en dicha descripción. Obsérvese que los números complejos y su álgebra son conocidos por casi todos los físicos, los cuaterniones por un número algo menor de físicos y los octoniones no por muchos. Esto está simplemente relacionado con la frecuencia con la que surgen los cálculos de simetría relevantes: casi cualquier simetría continua interesante implica objetos del grupo de Lie para los que $i^2=-1$ por lo que los seleccionamos y aplicamos todas las reglas de su álgebra para evitar que nos quedemos sin nada y nos internemos en manicomios escribiendo todo el tiempo sus representaciones teóricas de Lie. Seleccionar los cuaterniones y hacer lo mismo ahorra algo de trabajo, pero no tanto, porque los cuaterniones aparecen en menos simetrías. Cuando llegamos a los octoniones, las simetrías en las que aparecen son bastante raras, así que no es que muchos de nosotros seamos muy adeptos a su álgebra especial (yo incluido): podemos hacer los cálculos completos de matrices / Lie sin demasiado dolor porque no los hacemos tan a menudo, así que no nos damos cuenta de que son octoniones tan fácilmente.
Nota: Se puede considerar que los "miembros del grupo de Lie" y las "simetrías continuas" son lo mismo a fuerza de:
- La solución a El quinto problema de Hilbert por Montgomery, Gleason y Zippin es decir, no necesitamos el concepto de colector ni el de analiticidad ( $C^\omega$ ) - estos "se construyen a sí mismos" a partir de la idea básica de un grupo topológico continuo;
- El clasificación de todas las álgebras de Lie por Wilhelm Killing (que vio que podía hacerlo, pero estropeó un poco la prueba) y el gran Elie Cartan - así que sabemos lo que todo simetrías continuas. Una vez que hemos clasificado todas las álgebras de Lie, podemos encontrar todos los grupos de Lie posibles, ya que todo grupo de Lie tiene un álgebra de Lie, toda álgebra de Lie se puede exponer en un grupo de Lie ( Por ejemplo a través de la exponencial matricial, ya que toda álgebra de Lie puede representarse como un álgebra de Lie matricial (teorema de Ado)) y también se conocen las relaciones (globales-topológicas) entre los grupos de Lie que tienen la misma álgebra de Lie.
