Es $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x}{\pi(x)}-\ln(x) =-1$ ?

Question

$\pi(x)$ es el número de primos que no superan $x$ . El teorema de los números primos establece que $\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{\pi(x)}{x/\ln(x)} = 1.$ Así que, ingenuamente, deduje que $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x}{\pi(x)}-\ln(x) =0.$ Pero he hecho algunas pruebas y parece que el verdadero valor del límite es menos uno.

Pero sólo porque $\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{\pi(x)}{x/\ln(x)} = 1,$ esto no dice nada sobre el error absoluto....

Así que pregunto si $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x}{\pi(x)}-\ln(x) =-1$ ?

Answer 1

En efecto, tenemos el límite

$$\lim_{x\to\infty} \frac{x}{\pi(x)} - \log x = -1.$$

Tenemos la estimación

$$\pi(x) = \operatorname{li}(x) + O(xe^{-\sqrt{\log x}/15})$$

citado en wikipedia . Ahora, para la integral logarítmica, tenemos

$$\operatorname{li}(x) = \frac{x}{\log x} + \frac{x}{\log^2 x} + o\left(\frac{x}{\log^2 x}\right),$$

y $e^{-c\sqrt{\log x}}$ es $o\left(\frac{1}{\log^k x}\right)$ para todos $k > 0$ . Así que

$$\pi(x) = \frac{x}{\log x} + \frac{x}{\log^2 x} + r(x)$$

donde $\frac{r(x)\log^2 x}{x} \to 0$ . Así,

$$\begin{gather}\frac{\pi(x)}{x} = \frac{1}{\log x}\left(1 + \frac{1}{\log x} + o\left(\frac{1}{\log x}\right)\right)\\ \frac{x}{\pi(x)} = \log x\left(1 - \frac{1}{\log x} + o\left(\frac{1}{\log x}\right)\right) = \log x - 1 + o(1). \end{gather}$$

Como acabo de descubrir siguiendo un enlace de un pregunta no relacionada ,

$$\lim_{n\to\infty} \left(\log n - \frac{n}{\pi(n)}\right) = B$$

se conoce como La constante de Legendre (Legendre conjeturó su existencia, pero por supuesto no pudo demostrarla), que se demostró que era $1$ por de la Vallée-Poussin (de la fama del teorema de los números primos).

Answer 2

EEDDIITT: resultó que el OP quería otra cosa. Así es la vida.

.......................... La función integral logarítmica es una mejor estimación para $\pi(x)$ que cualquier función racional de $x, \log x,$ y se sabe que el error sigue siendo ilimitado (absoluto).

Un buen resultado inicial es el teorema 35 de The Distribution of Prime Numbers (La distribución de los números primos), de A. E. Ingham, $$ \pi(x) - \operatorname{li}x = \Omega_{\pm} \left( \frac{\sqrt x}{\log x} \; \log \log \log x \right) $$

http://en.wikipedia.org/wiki/Prime-counting_function

http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithmic_integral

http://en.wikipedia.org/wiki/Skewes%27_number

y así sucesivamente.