¿El límite de los truncamientos infinitos?

Question

Cuando se hace que un poliedro regular sufra repetidos truncamientos, ¿existe un sólido que actúe como una especie de límite para este proceso iterado? Es decir, digamos que un cubo se trunca N veces. A medida que N se hace más y más grande, ¿existe una forma a la que se tiende pero que nunca se alcanza? ¿Se reduce el cubo a un punto? ¿Una esfera?

Answer 1

Estrictamente hablando, hay que especificar con precisión cómo se lleva a cabo el truncamiento en cada iteración antes de que podamos tener cualquier forma de respuesta definitiva.

Sin más información, supondré que por truncamiento se refiere a a truncamiento/rectificación completa . Para concretar, adoptamos el siguiente procedimiento de truncamiento.

1. Para cada vértice de un politopo, encuentra todas las aristas unidas al vértice.
2. Elimina el vértice cortando en los puntos medios de las aristas.
3. Si los puntos medios son planos, sustituye el vértice por un polígono plano.
4. Si no es así, sustituye el vértice por la superficie del casco convexo que abarca los puntos medios.

Partiendo de un cubo unitario, si repetimos el truncamiento, lo siguiente es lo que obtendremos:

Este es el resultado de las seis primeras iteraciones. Se dibujan en escala y en el orden de izquierda a derecha, luego de arriba a abajo. A continuación se ofrece información numérica sobre ellas (hasta $8^{th}$ iteración):

$$\begin{array}{|r|rrr|ll|} \hline \#\text{iter} & V & E & F & \verb/Area/ & \verb/Volume/\\ \hline 1 & 12 & 24 & 14 & 4.73205080756888 & 0.833333333333333 \\ 2 & 24 & 48 & 26 & 4.05433304545186 & 0.708333333333333 \\ 3 & 48 & 96 & 50 & 3.78451479182779 & 0.661458333333333 \\ 4 & 96 & 192 & 98 & 3.66401838854418 & 0.639973958333333 \\ 5 & 192 & 432 & 242 & 3.60670601543203 & 0.630696614583333 \\ 6 & 432 & 1008 & 578 & 3.57853041917916 & 0.625325520833333 \\ 7 & 1008 & 2352 & 1346 & 3.56581924420161 & 0.623093922932943 \\ 8 & 2352 & 5424 & 3074 & 3.56017305789999 & 0.622058709462482 \\ \hline \end{array}$$

Como se puede ver,

1. Las formas no parecen converger en un punto.
2. En cambio, parece converger a una forma de extensión finita.
3. La forma "limitante" no parece en absoluto una esfera.

Espero que estas observaciones numéricas ayuden a alguien a construir una respuesta más concreta.