derivada matricial-vectorial y derivada escalar-vectorial

Question

Tengo varias derivadas que necesitan ser calculadas. Me preguntaba si es correcto o no.

Supongamos que $x\in \mathbb{R}^{n \times 1}$ entonces

• matriz-vector: $$\frac{\partial x x^\top}{\partial x} = ? $$
• escalar-vector: $$\frac{\partial x^\top x}{\partial x} = ? $$
• vectorial: $$\frac{\partial x x^\top x}{\partial x} =? $$
• vectorial: $$\frac{\partial x^\top x x^\top}{\partial x} =? $$
• vectorial: $$\frac{\partial x x^\top x}{\partial x^\top} =? $$
• vectorial: $$\frac{\partial x^\top x x^\top}{\partial x^\top} =? $$

He echado un vistazo al libro de cocina de la matriz, pero sigo confundido con estos ejemplos. ¿Podría alguien proporcionar los pasos detallados para obtener los resultados mediante la aplicación de la regla del producto?

Answer 1

Empezamos con el caso de los vectores escalares. Escribe la función en términos del producto interior, luego encuentra la diferencial y luego el gradiente. $$\eqalign{ \phi &= x^Tx = x\cdot x \cr d\phi &= 2x\cdot dx \cr \nabla_x\phi &= 2x \cr\cr }$$ El siguiente caso es el de los vectores. $$\eqalign{ y &= xx^Tx = x\phi \cr dy &= \phi\,dx + x\,d\phi &= (\phi\,I + 2xx)\cdot dx \cr \nabla_x y &= \phi\,I + 2xx^T \cr\cr }$$ El siguiente es el caso de la matriz-vector, pero no estoy seguro de cómo manejar eso ya que el resultado es un tensor de 3er orden.