Lema. Supongamos que $X, Y$ son suaves y compactas de Riemann $n$ -manifolds, $f: X\to Y$ es un difeomorfismo. Entonces $f$ es bilipschitz con respecto a las funciones de distancia de Riemann.
Prueba. Basta con demostrar que $f$ es Lipschitz (considerando la inversa obtendremos la propiedad bilipschitz).
Edición: No sé por qué escribí una prueba tan complicada al principio. Aquí hay una mucho más corta. Dejemos que $UX$ denota el haz tangente unitario de $X$ . Entonces el mapa $df: UX\to TY$ es continua, ya que asumimos que $f$ es suave. Por tanto, como la métrica de Riemann sobre $Y$ es suave, la función $\phi(u)=|df(u)|$ , $u\in UX$ también es continua. Sea $C$ denotan su máximo (que existe ya que $UX$ es compacto). Por lo tanto, para cada camino de velocidad unitaria y liso a trozos $c: [a,b]\to X$ la longitud de su imagen $$ L(f\circ c)= \int_{a}^b |(f\circ c)'|dt\le C \int_a^b |c'(t)|dt= C L(c), $$ donde $L(c)$ es la longitud del recorrido en $X$ et $L(f\circ c)$ es la longitud en $Y$ . Por lo tanto, $f$ aumenta la longitud de los trayectos como máximo en el factor $C$ . Dado que las funciones de distancia en $X$ et $Y$ se definen minimizando las longitudes de los caminos entre los puntos, se deduce que $$ d_Y(f(p), f(q))\le C d_X(p, q), p, q\in X. $$ Por lo tanto, $f$ es $C$ -Lipschitz. qed
