Sobre qué campos $k$ ¿existe un análogo razonable del Nullstellensatz de Hilbert?
He aquí una formulación más precisa: dejemos que $k$ sea un campo arbitrario, $n$ un número entero positivo, y $R = k[t_1,..,t_n]$ . Existe una relación natural entre $k^n$ et $R$ : para $x \in k^n$ et $f \in R$ , $(x,f)$ se encuentra en la relación si $f(x) = 0$ .
Esta relación induce una conexión de Galois entre el conjunto de potencias de $k^n$ y el conjunto de todos los ideales de $R$ (ambos parcialmente ordenados por inclusión). En un lenguaje algebraico-geométrico más estándar, si $S$ es un subconjunto de $k^n$ et $J$ es un ideal de $R$ , poned
$I(S) = \{f \in R \ | \ \forall x \in S, \ f(x) = 0\}$
y
$V(J) = \{x \in k^n \ | \ \forall f \in J, \ f(x) = 0\}$ .
Existen operadores de cierre inducidos: para un subconjunto $S$ , $\overline{S} := V(I(S))$ y para un ideal $J$ , $\overline{J} := I(V(S))$ .
El operador de cierre sobre subconjuntos es compatible con las uniones finitas por lo que es el operador de cierre para una topología sobre $k^n$ La topología de Zariski.
La pregunta es: ¿cuál es el operador de cierre $I \mapsto \overline{I}$ sobre los ideales de $R$ ? Por un Nullstellensatz, me refiero a una buena descripción de este operador de cierre.
Algunas observaciones y ejemplos:
1) Sobre cualquier campo $k$ se ve que $\overline{I}$ es un ideal radical, por lo que contiene $\operatorname{rad}(I) = \{x \in R \ | \ \exists n \in \mathbb{Z}^+ \ | \ x^n \in I\}$ .
Si $k$ es algebraicamente cerrado, entonces el Nullstellensatz de Hilbert dice que $\overline{I} = \operatorname{rad}(I)$ .
Es fácil ver que si $\overline{I} = \operatorname{rad}(I)$ para todos los ideales máximos de $k[t]$ entonces $k$ es algebraicamente cerrado.
2) Si $k$ es formalmente real, entonces para cualquier ideal $I$ de $R$ , $\overline{I}$ es un verdadero ideal es decir, $x_1,\ldots,x_n \in R, \ x_1^2 + \ldots + x_n^2 \in I \implies x_1,\ldots,x_n \in I$ . Además, para cualquier ideal $I$ en un anillo conmutativo, existe un único ideal real mínimo que contiene $I$ , su verdadero radical $\mathbb{R}ad(I)$ que es la intersección de todos los ideales primos reales $\mathfrak{p}$ que contiene $I$ .
Si $k$ es real-cerrado, entonces para cualquier ideal $I$ en $k[t_1,\ldots,t_n]$ , $\overline{I} = \mathbb{R}ad(I)$ : este es el Nullstellensatz de Risler.
3) También existe un Nullstellensatz para campos p-adicamente cerrados (en particular, para $p$ -ádico) debido a Jarden y Roquette: véase
¿Existen más Nullstellensätze (por ejemplo, para campos no henselianos para descartar variaciones sobre 3)?
Aunque no he precisado lo que es una descripción de $\overline{I}$ significa (no sé cómo), parece razonable suponer que no hay un buen Nullstellensatz sobre un campo como $\mathbb{Q}$ para el que se cree que el décimo problema de Hilbert tiene una respuesta negativa. Brevemente: si se tiene un sistema de ecuaciones polinómicas $P_1,\ldots,P_m$ con $\mathbb{Q}$ -entonces tienen una solución simultánea sobre $\mathbb{Q}$ si el cierre de $\langle P_1,\ldots,P_m \rangle$ es un ideal propio, por lo que si se tuviera una descripción suficientemente buena de la operación de cierre, se podría utilizar para responder a H10 sobre $\mathbb{Q}$ afirmativamente.
Un caso que me ha interesado mucho en los últimos años es el de un campo finito. En cierto sentido es el peor caso, ya que no es difícil demostrar que el ideal cero en $k[t_1,\ldots,t_n]$ es cerrado si $k$ es infinito. Sin embargo, siento vagamente que debería haber algo que decir aquí, posiblemente algo que tenga que ver con los polinomios reducidos -- es decir, para los que cada exponente de cada variable es como máximo $\# k - 1$ -- como en una de las pruebas del teorema de Chevalley-Warning.
P.D.: Conozco otros resultados algebraicos sobre $k[x_1,\ldots,x_n]$ sobre un campo general $k$ que, cuando $k$ es algebraicamente cerrado, implica el Nullstellensatz de Hilbert, por ejemplo, que un $k$ -que es un campo es de dimensión finita sobre $k$ o que todo ideal primo en $k[t_1,\ldots,t_n]$ es una intersección de ideales máximos. Estos son interesantes y útiles, pero aquí estoy realmente interesado en $I \mapsto \overline{I}$ .
