Convergencia de $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\left(\sqrt{n}\right)\left(n^{\cos(\frac{1}{n^{\alpha}})}-n-\cos\left(\frac{1}{n}\right)\right)\right)^{-1}$

Question

Convergencia de la siguiente serie como $\alpha \in \mathbb{R}$

$$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\left(\sqrt{n}\right)\left(n^{\cos(\frac{1}{n^{\alpha}})}-n-\cos\left(\frac{1}{n}\right)\right)\right)^{-1}$$

Hace unos días publiqué la misma serie pero el parámetro estaba en otra posición.

Ya que, como $n \to \infty$ tenemos $\cos(\frac{1}{n^{\alpha}}) \sim 1-\frac{1}{2n^{2\alpha}}$ ¿Cómo interpretar la serie?

Answer 1

Si $\alpha=0$ entonces $$\sqrt n\,\Bigl(n^{\cos 1}-n-\cos\frac1n\Bigr)\sim-n^{3/2}$$ y la serie converge. Si $\alpha\ge0$ entonces \begin{align} n^{\cos n^{-\alpha}}-n&=n\bigl(n^{(\cos n^{-\alpha})-1}-1\bigr)\\ &=n\bigl(e^{((\cos n^{-\alpha})-1)\log n}-1\bigr)\\ &\sim n\,(\cos n^{-\alpha}-1)\log n\\ &\sim-\frac{\log n}{2\,n^{2\alpha-1}} \end{align} Si $\alpha>1/2$ entonces $$ n^{\cos n^{-\alpha}}-n-\cos\frac1n\sim-1 $$ y la serie diverge. Si $\alpha=1/2$ entonces $$ n^{\cos n^{-\alpha}}-n-\cos\frac1n\sim-\frac12\log n $$ y la serie diverge. Por último, si $0\le\alpha<1/2$ entonces $$ \sqrt n\,\Bigl(n^{\cos n^{-\alpha}}-n-\cos\frac1n\Bigr)\sim-\frac{\log n}2n^{3/2-2\alpha}; $$ la serie converge si $0<\alpha<1/4$ y diverge si $\alpha\ge1/4$ .

Cuando $\alpha<0$ las cosas son más complicadas, y la respuesta depende de lo cerca que esté uno de $\cos n^{-\alpha}$ puede conseguir.