¿Demostrar que los subgrupos de 2 torsiones son equivalentes?

Question

Dejemos que $E/k$ sea una curva elíptica definida por la forma Weierstrass $y^2=x^3+ax+b$ . Sea $c$ sea un elemento libre de cuadrados no nulo en $k$ . Sea $E_c/k$ sea una curva definida por $cy^2=x^3+ax+b$ . Demuestre que el subgrupo de 2 torsiones subgrupo $E[2](k)=E[2]\cap E(k)$ de $E(k)$ es el mismo que el subgrupo de 2 torsiones $E_c[2](k)=E_c[2]\cap E_c(k)$ de $E_c(k)$ .

Sé y he demostrado que $E_c$ es un giro de $E$ pero no estoy seguro de cómo utilizarlo aquí. ¿Cuál es una manera fácil de demostrar que estos subgrupos de 2 torsiones son equivalentes?

Answer 1

Para ambas curvas, el $2$ -Los puntos de torsión son los puntos $(x_0,0)$ tal que $x_0^3+ax_0+b=0$ (junto con el punto en el infinito, por supuesto).