Ecuación diofantina (tres variables)

Question

Demuestre que la ecuación $$x^3+2y^2+4z=n$$ tiene una solución entera $(x,y,z)$ para todos los enteros $n$ .

Esto parece ser una ecuación diofantina con tres variables. ¿Cómo puedo restringir $n$ para encontrar la solución?

Answer 1

Dejemos que $k \in \mathbb{Z}$ .

Si $n=4k$ alors $(x,y,z)=(0,0,k)$ puede funcionar.

Si $n=4k+1$ alors $(x,y,z)=(1,0,k)$ .

Si $n=4k+2$ alors $(x,y,z)=(0,1,k)$ .

Si $n=4k+3$ alors $(x,y,z)=(1,1,k)$ .

Dado que cualquier número entero $n$ estará en una de las formas anteriores ( $4k+r$ ), por lo que la ecuación tiene soluciones enteras para todo $n$ .