Equivalencia de proyecciones en un factor del álgebra de Von Neumann

Question

$\pmb Problem:$ Dejemos que $M$ sea un factor (propiamente) infinito y $e$ y $f$ sean proyecciones de $M$ . Entonces $$ e\lor f \sim 1 \iff e\sim1\ \text{ or } f\sim1 .$$

$\pmb Idea:$ Como $M$ es un factor, su centro es trivial. Ser propiamente infinito significa que $1$ es propiamente infinito, por lo tanto, por el lema de la mitad, existe una proyección $g$ tal que $g\sim 1\sim1-g$ . Pero no sé cómo proceder. Además, tenemos las relaciones de abajo: $$ e \lor f-f \sim e-e\land f\ $$ y: $$e-e\land\ (1-f)\sim\ f-(1-e)\land\ f.$$

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

$\Leftarrow$ ) Si $e=1$ alors $e\lor f=1$ .

$\Rightarrow$ ) Porque $M$ es un factor, $e$ y $f$ son comparables. Así que suponemos, sin pérdida de generalidad, que $f\preceq e$ (de lo contrario, cambiamos los papeles). También tenemos que $e$ es infinito, porque si ambos $e$ y $f$ son finitos, también lo es $e\lor f$ . Con $M$ un factor, $e$ es propiamente infinito.

Podemos reducir a la mitad $e$ es decir, existe una proyección $e_1\leq e$ con $ e_1\sim e\sim e-e_1$ . Usando la fórmula de Kaplanski, $e\lor f-e\sim f-f\land e\leq f$ . Es decir $$\tag1 e\lor f-e\preceq f\preceq e\sim e-e_1. $$ Lo combinamos con $$\tag2 e\sim e_1, $$ Porque las proyecciones a la izquierda de $(1)$ y $(2)$ son ortogonales entre sí, y lo mismo ocurre con las dos proyecciones de la derecha, $$ e\lor f=e+(e\lor f -e)\preceq e_1+(e-e_1)=e. $$ Como $e\leq e\lor f$ hemos demostrado que $e\sim e\lor f\sim 1$ .