Encuentra la función diferenciable $f$ tal que $f(x) = x^2+\int_0^{x} e^{-t }f(x−t)dt$

Question

$f$ es una función diferenciable tal que $f(x) = x^2+\int_0^{x} e^{-t} f(xt)dt$ entonces encuentra $f(x)$

Había utilizado la diferenciación parcial de Newton Leibniz y la sustitución de $x$ a $x+t$ pero no consigo que nadie lo solucione. Puedes usar la regla de Newton Leibniz, creo que te ayudará.

Answer 1

Dejemos que $g(x) = e^xf(x)$ . Multiplicando la ecuación de $f$ con $e^x$ , se puede ver que $$ g(x) = x^2e^x + \int_0^xg(s) ds $$ lo que implica $$ g'(x) = (2x+x^2)e^x + g(x) $$ con $g(0) = 0$ . Por lo tanto, $$ \frac{d}{dx} (e^{-x} g(x)) = \frac{d}{dx} f(x) = 2x + x^2 $$ que implica $$ f(x) = x^2 + \frac{1}{3}x^3. $$

Answer 2

La condición inicial es $f(0) = 0$ . Ahora tenemos todo lo que necesitamos para tomar una transformada de Laplace en la variable $x$ . Antes de eso, necesitamos lo siguiente:

Teorema. (Convolución) Definir la convolución de dos funciones $f$ y $g$ por $$ (f * g)(x) := \int_0 ^x f(t)g(x-t) \ dt $$ Entonces la transformada de Laplace de la convolución es $$ \mathcal{L}(f * g) = F(s)G(s) $$ donde $F$ y $G$ son las transformaciones de $f$ y $g$ respectivamente.

Empecemos. Asumiré que conoces algunas transformadas de Laplace básicas (se pueden buscar fácilmente). Primero toma las transformadas de ambos lados.

$$ F(s) = \frac{2}{s^3} + \frac{F(s)}{s-1} $$

Ahora mueve algunas cosas.

$$ F(s) \left( 1 - \frac{1}{s-1} \right) = \frac{2}{s^3} $$

Y sigue...

$$ F(s) = \frac{2(s-2)}{(s-1)s^3} $$

Así que, sin invertir (todavía, esto lo dejaré para ti a través de fracciones parciales y un poco de coincidencia de tablas) la solución se parece a algo con algo de $x^2$ términos y tal vez incluso $e^{-2x}$ . Por supuesto, ésta es sólo una forma de resolver el problema, ¡mi favorita en realidad!