Encontrar todas las soluciones a $y^3 = x^2 + x + 1$ con $x,y$ enteros mayores que $1$

Question

Estoy tratando de encontrar todas las soluciones a

(1) $y^3 = x^2 + x + 1$ , donde $x,y$ son números enteros $> 1$

He intentado hacerlo utilizando... creo que se llaman "enteros cuadráticos". Sería genial si alguien pudiera verificar los pasos y sugerir simplificaciones a este enfoque. También me pregunto si mi uso de Mathematica invalida este enfoque.

Mi exploración se basa en una prueba que leí que $x^3 + y^3 = z^3$ no tiene soluciones enteras no triviales. Esta prueba utiliza el anillo Z[W] donde $W = \frac{(-1 + \sqrt{-3})}{2}$ . No entiendo la mayoría de estas pruebas, ni lo que es un anillo, pero entiendo la idea general. Las preguntas que tengo sobre mi intento de enfoque son

1. ¿Es válido?
2. ¿Cómo se puede simplificar?

Solución:

Dejemos que $w = (-1 + \sqrt{-3})/2$ . (De alguna manera, esto puede considerarse un "entero" aunque no se parezca en nada a uno).

Ahora $x^3 - 1 = (x-1)(x-w)(x-w^2)$ para que, $(x^3 - 1)/(x-1) = x^2 + x + 1 = (x-w)(x-w^2)$ . Por lo tanto,

$y^3 = x^2 + x + 1 = (x-w)(x-w^2).$

Desde $x-w, x-w^2$ son coprimos hasta las unidades (así lo he leído) ambos son "cubos". Dejando $u$ sea una de las 6 unidades de Z[w], podemos decir

$x-w = u(a+bw)^3 = u(c + dw)$ donde

$c = a^3 + b^3 - 3ab^2, d = 3ab(a-b)$

Desgraciadamente, las miserables unidades complican las cosas. Hay 6 unidades, por lo tanto, 6 casos, como sigue:

1) $1(c+dw) = c + dw$

2) $-1(c+dw) = -c + -dw$

3) $w(c+dw) = -d + (c-d)w$

4) $-w(c+dw) = d + (d-c)w$

5) $-w^2(c+dw) = c-d + cw$

6) $w^2(c+dw) = d-c + -cw$

Afortunadamente, los dos primeros casos pueden eliminarse. Por ejemplo, si $u = 1$ entonces $x-w = c+dw$ para que $d = -1 = 3ab(a-b).$ Pero esto no es posible para los enteros $a,b$ . El mismo razonamiento se aplica a $u = -1$ .

Para el resto me baso en un programa llamado Mathematica, que quizás invalida mi razonamiento, como verás.

Atacamos el caso 5. Aquí

$x = c-d = a^3 + b^3 - 3a^2b$ y $c = a^3 + b^3 - 3ab^2 = -1.$

Según Mathematica las únicas soluciones enteras de $c = -1$ son $(a,b) = (3,2), (1,1), (0,-1), (-1,0), (-1,-3), (-2,1).$

Si se introducen estos datos en $x = c-d$ encontramos que ningún valor de x que sea mayor que 1. Así que el caso 5 se elimina, al igual que el 6 por un razonamiento similar.

Examinando el caso 4 vemos que $d-c = -(a^3 + b^3 - 3a^2*b) = -1$ con soluciones $(-2,-3), (-1,-1), (-1,2), (0,1), (1,0), (3,1).$

Introduciendo estos valores en $x = d = 3ab(a-b)$ sólo da un valor significativo, a saber $x = 18$ (por ejemplo, (a,b)=(3,1) . El mismo resultado se da en el caso 4. Por lo tanto, la única solución de (1) es $7^3 = 18^2 + 18 + 1$

Sin embargo, no estoy seguro de que este enfoque sea válido porque no sé cómo Mathematica encontró soluciones a expresiones como $a^3 + b^3 - 3ab^2=-1$ . Esto parece más difícil que la cuestión original de $y^3 = x^2 + x + 1$ aunque observo que Mathematica no pudo resolver este último.

Answer 1

No he verificado su trabajo. Esto es sólo para decir que $y^3=x^2+x+1$ es la ecuación de un curva elíptica (con $j$ -invariante igual a $0$ ). Utilizando Sage o Magma se puede encontrar que esta curva elíptica tiene rango $1$ y subgrupo de torsión trivial. El grupo de puntos racionales está generado por el punto $P=(0,1)$ y el resto de la racional puntos son todos los múltiplos de $P$ :

\begin {align*} & \vdots \\ -3P &= \left (- \frac {703}{216}, \frac {73}{36} \right ) \\ -2P &= \left (18 , 7 \right ) \\ -P &= \left (-1,1 \right ) \\ 0 & = \infty\\ P &= \left (0,1 \right ) \\ 2P &= \left (-19 , 7 \right ) \\ 3P &= \left ( \frac {487}{216}, \frac {73}{36} \right ) \\ & \vdots \end {align*} Ahora se puede utilizar el resto de la teoría de las curvas elípticas para demostrar que los únicos puntos integrales son $(18,7)$ , $(-1,1)$ , $(0,1)$ y $(-19,7)$ . Así que la única solución $(x,y)$ con $x,y>1$ es $(18,7)$ como has encontrado.

Answer 2

Tu prueba es básicamente válida, pero hay circunstancias especiales para este anillo particular de enteros (algebraicos). Primero hay que comprobar que $y$ no puede ser divisible por $3.$ Obsérvese que ( en el anillo de enteros habitual), si tenemos $3$ divide $1 + x + x^{2},$ entonces debemos tener $x \equiv 1$ (mod $3$ ), digamos $x = 3z+1$ para algún número entero $z.$ Entonces $x^{2}+x +1 = 9z^{2} +9z+3,$ que no es divisible por $9,$ así que $y$ no es divisible por $3.$ Usted está utilizando implícitamente el hecho de que $R = \mathbb{Z}[\omega]$ es un dominio de factorización único. Esto es cierto: es un anillo ideal principal, de hecho un anillo euclidiano, donde definimos $d(a+b\omega) = a^{2}-ab +b^{2}.$ Es cierto, pero no del todo sencillo de demostrar, que si $u,v \in R,$ podemos escribir $v = qu +r$ donde $q,r \in R$ y $r=0$ o $d(r) <d(u).$ El anillo $R$ se conoce a veces como el anillo de los enteros de Eisenstein. Este $d$ permite que la teoría habitual de los primos y la descomposición única de las no unidades como productos de los primos, tal y como la desarrolló Euclides en los enteros habituales, proceda con pocos cambios (de ahí la expresión anillo euclidiano). Sin embargo, hay muchos anillos de enteros algebraicos para los que falla la unicidad de la factorización, por lo que se trata de una situación bastante especial. De todos modos, su conclusión de que $y^{3} = x^{2}+x+1 = (x-\omega)(x-\omega^{2})$ implica que $x-\omega = u(a+b\omega)^{3}$ para alguna unidad $u$ y los enteros $a$ y $b$ es correcto -siempre y cuando sepas que $x - \omega$ y $x-\omega^{2}$ no tienen ningún factor común (no unitario) en $R$ . Esto es, de hecho, cierto: todo lo que divide a ambos $x- \omega$ y $x - \omega^{2}$ debe dividir $\omega - \omega^{2} = (x - \omega^{2})- (x-\omega).$ Sin embargo, $(\omega - \omega^{2})(\omega^{2}- \omega) = 3$ Así que $\omega - \omega^{2}$ no tiene en cuenta más $R$ (aparte de los factores unitarios). Sin embargo, $\omega - \omega^{2}$ no divide $y$ en $R,$ o bien $3$ dividiría $y^{2}$ en $\mathbb{Z},$ lo cual sabemos que no es así. La teoría para saber cómo termina Mathematica a partir de este punto se explica en otras respuestas, aunque creo que debería ser posible idear un puf directo dentro de $R$ .

Answer 3

Por lo que veo -con la salvedad de que yo también estoy indeciso sobre los "enteros extraños"- creo que tu solución y el uso de enteros cuadráticos es correcto y válido.

En cuanto a tu pregunta incrustada sobre el uso de aplicaciones informáticas en una prueba o solución... No invalida en absoluto tu planteamiento. Sin embargo, hay que tener en cuenta varias cosas.

1. Si utilizas el álgebra para reducir tu ecuación original a otra ecuación, y luego confías en una aplicación informática para encontrar las soluciones de esa nueva ecuación, estás simplemente descargando -o, más bien, descargando-, arriba -carga - esfuerzo a la aplicación. Esa aplicación puede utilizar algoritmos extremadamente complejos, o límites que se basan en complicadas pruebas y teoremas matemáticos, con el fin de darle soluciones. Por lo tanto, es posible que el método sea más complicado de lo que parece en un principio, y posiblemente más complicado de lo que necesita.

2. Los métodos asistidos por aplicaciones informáticas requieren la verificación del algoritmo de la aplicación antes de que el resultado pueda ser plenamente validado. En muchos casos -como el suyo, en el que ha utilizado [supuestamente] una función bien conocida, documentada y verificada en una aplicación ampliamente utilizada para determinar un "conjunto completo de soluciones"- este paso es fácil (y suele darse por supuesto). En el caso de que usted haya desarrollado sus propias funciones o un programa completo para hacer los cálculos, el código de la aplicación y los propios algoritmos tendrían que ser validados de forma independiente antes de que su resultado pudiera ser aceptado.