Manos y parejas de póquer

Question

Así que he ido a la página de Wikipedia de las manos de póker y supongo que la gente que sabe más de estas cosas que yo lo ha resuelto todo. Lo que no puedo entender es por qué no puedo usar lo siguiente para calcular la frecuencia (es decir, el número total de veces que sucede) de conseguir tres de una clase de una baraja estándar de cartas después de ser repartido 5 cartas como simplemente:

13 (filas de cartas) * (4 elige 3) * (49 elige 2)

4 eligen 3 siendo la combinación de triples y 49 eligen 2 siendo la combinación de todas las cartas restantes. Soy consciente de que esta solución también incluiría los cuatro de una clase y las casas llenas, que la página de Wikipedia cuenta por separado, sin embargo la frecuencia que obtengo utilizando el método anterior es: 61.152 frente a la respuesta de Wikipedia de 59.280 (una vez que las casas llenas y cuatro de una clase se incluyen).

Básicamente busco calcular la frecuencia de tener POR LO MENOS tres de la misma carta.

El problema se agrava aún más si se prueba el método que yo utilizaba con las parejas dando un 58% (más o menos) de posibilidades de parejas (al menos) en una mano de 5 cartas frente al 49% esperado (menos si se restan las escaleras de color y los pares).

Sólo quiero entender por qué no funciona. Gracias.

Answer 1

Se cuenta el número de manos que tienen al menos tres iguales y si se dan varios casos de tres iguales uno de ellos seleccionado . De este modo, una mano con cuatro iguales se cuenta cuatro veces mientras que sólo debería contarse una vez.

Al hacer lo mismo con las parejas, el error es aún mayor porque cada mano de tres iguales se cuenta tres veces, cada mano de cuatro iguales se cuenta 6 veces y cada mano de full se cuenta tres veces en lugar de una sola.

Answer 2

Por ejemplo, las manos con al menos $3$ Reinas. Su método de recuento daría $\binom{4}{3}\binom{49}{2}$ . Sin embargo, esto supone un exceso de $4$ Manos de reina. Para su $\binom{4}{3}$ cuenta como una posibilidad Reinas de Picas, Corazones, Diamantes, mientras que su $\binom{49}{2}$ cuenta, en particular, la mano con la Reina de Tréboles y la $2$ de los diamantes.

Pero su $\binom{4}{3}$ también permite la posibilidad de que las tres reinas sean las reinas de corazones, diamantes y tréboles. Entonces, entre las $\binom{49}{2}$ has contado la Reina de Picas y la $2$ de diamantes. Así que cada $4$ La mano de la reina está contada $\binom{4}{3}(48)$ veces, y sólo debe contarse una vez.

Se puede contar con el menos $3$ de un tipo de manos como el siguiente:

(i) Exactamente $3$ : $(13)\binom{4}{3}\binom{48}{2}$ (esto incluirá las manos de la casa llena).

(ii) Exactamente $4$ : $(13)\binom{48}{1}$ .

Ahora añade.