Es cada curva algebraica birational a un plano de la curva

Question

Deje $X$ ser una curva algebraica sobre un algebraicamente cerrado campo de $k$.

¿Existe un polinomio $f\in k[x,y]$ tal que $X$ es birational a la curva de $\{f(x,y)=0\}$?

Creo que puedo demostrar esto mediante Noether Normalización Lema.

Es esto correcto? Si sí, ¿es demasiado? Es decir, ¿existe una manera más fácil argumento?

Answer 1

Dos curvas son birational si y sólo si su función de campos son isomorfos. $k(X)$ tiene trascendencia grado $1$, por lo que elegir un elemento trascendental $x \in X$. A continuación, $k(X)$ es una extensión finita de $k(x)$. Por el primitivo elemento teorema (en este contexto, una birational versión de Noether para la normalización), existe un elemento primitivo $y \in k(X)$ tal que $k(X) = k(x)[y]$; $y$ satisface un mínimo polinomio $f(x, y) = 0$$k[x]$, y la conclusión de la siguiente manera.

Edit: Encima me supone implícitamente que la extensión de $k(x) \to k(X)$ es separable. Este es automática si $k$ tiene características de las $0$. Si $k$ tiene características de las $p$ tenemos que elegir el $x$ más cuidado y no estoy seguro de cómo hacer esto sin tener que ir a través de la característica-$p$ a prueba de Noether normalización.

Answer 2

El resultado es titular de más de una arbitraria campo de tierra $k$ si suponemos que la curva es geométricamente regular: es decir, si $X \otimes_k \overline{k}$ es regular, o, equivalentemente, si la extensión de $k(X)/k$ es separable, como en QiL del comentario anterior. Creo que QiL la prueba de que funciona aquí textualmente. También Qiaochu de Yuanes, el argumento de las obras, ya que hay una separables Noether normalización teorema: la fracción de campo de un geométricamente regular la variedad puede ser escrito como una finito separables de la extensión de una función racional de campo. (Ver Corolario 16.18 en Eisenbud del texto en álgebra conmutativa.)

Tenga en cuenta que a menudo es posible demostrar más: en $\S 5$ de estas notas, me dan un (detallada) esbozo de una prueba de que cualquier geométricamente regular de la curva de $C$ a través de un infinito campo es birational el plano de la curva con solo ordinaria el doble de puntos como singularidades. Básicamente me siga Hartshorne de la prueba y explicar por qué la hipótesis en el mismo que "$k$ es algebraicamente cerrado" puede ser reemplazado por "$k$ es infinita".

Esta conclusión más fuerte, sin embargo no necesita tener más de un campo finito: si una curva de $C$ puede estar "inmerso" en $\mathbb{P}^2$ sólo con doble punto de singularidades, a continuación,$\# C(\mathbb{F}_q) \leq 2 \# \mathbb{P}^2(\mathbb{F}_q)$. Pero una curva sobre un campo finito puede arbitrariamente muchos $\mathbb{F}_q$-puntos racionales.