Encontrar la dimensión de $S = \{B \in M_n \,|\, AB = BA\}$ , donde $A$ es una matriz diagonalizable

Question

Necesito ayuda para probar lo siguiente:

Dejemos que $A \in M_{n \times n}$ sea una matriz diagonalizable con valores propios distintos $\lambda_1, \ldots , \lambda_k$ y las multiplicidades correspondientes $d_1, \ldots, d_k$ . Dado que $S = \{B \in M_n \,|\, AB = BA\}$ , demuestre que $\dim (S) = d_1^2 + \cdots + d_k^2$ .

Esto es lo que he hecho:

Desde $A$ es diagonalizable, tenemos que $D = P^{-1}AP$ , donde $D$ es una matriz diagonal. Podemos entonces escribir, $$P^{-1}AP = \begin{bmatrix}\Lambda_1 & & & \\ & \Lambda_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & \Lambda_k\end{bmatrix} = D,$$ donde $$\Lambda_i = \underbrace{\begin{bmatrix}\lambda_i & & & \\ & \lambda_i & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_i\end{bmatrix}}_{d_i \, \text {columns}}.$$

Obviamente, el tamaño de cada $\Lambda_i$ es $d_i \times d_i = d_i^2$ que creo que tenemos que demostrar que cada bloque contribuye a la dimensión total a medida que trabajamos a lo largo de la diagonal, pero estoy teniendo un poco de problemas para llegar a esta conclusión a través de la por qué y cómo .

Es evidente que cada vector columna de $D$ y en consecuencia cada vector columna de cada $\Lambda_i$ es linealmente independiente, pero no soy capaz de ver lo que viene después para recibir la parte cuadrada. ¿Puede alguien darme una pista de cómo puedo llegar a esta conclusión?

Answer 1

Pista. Deja que $B = [b_{ij}]$ ser un $n\times n$ que conmuta con una matriz diagonal $D=\mbox{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n)$ Es decir $DB=BD$ .

Entonces, calculando $DB$ y $BD$ , obtenemos que para todos $1\leq i,j\leq n$ , $$\lambda_i b_{ij} = b_{ij}\lambda_j$$ lo que implica que $(\lambda_i - \lambda_j) b_{ij} = 0$ . Por lo tanto, o bien $\lambda_i = \lambda_j$ o $b_{ij} = 0$ .

Answer 2

Una pista: Escribe $D$ como una matriz de bloques $$ D= \pmatrix{ \lambda_1 I \\ & \lambda_2 I \\ && \ddots \\ &&& \lambda_k I } $$ Observando que $$ P^{-1}[AB]P= D(P^{-1} BP), \qquad P^{-1}[BA]P= (P^{-1} BP)D $$ Basta con determinar qué matrices $M$ satisfacer $MD=DM$ .

Para ello, escriba $M$ como una matriz de bloques (dividida de la misma manera que $D$ ), y calcular los productos $DM$ y $MD$ . Determinar que todos los bloques de $M$ debe ser cero, excepto los de la diagonal.