Estaba escribiendo unos apuntes sobre análisis armónico y se me ocurrió una pregunta que debería saber la respuesta pero no lo hice, y espero que alguien aquí me pueda ayudar. Supongamos que tengo una colector riemanniano compacto $M$ en el que un grupo de Lie compacto $G$ actúa de forma isométrica y transitiva, por lo que se puede pensar en $M$ como $G/K$ para algunas cerradas subgrupo $K$ de $G$ . Entonces el espacio real de Hilbert $H = L^2(M, \mathbb{R})$ es un espacio de representación ortogonal de $G$ y, por tanto, se divide como una suma directa ortogonal de dimensional de subrepresentaciones irreducibles. Por otro lado, el laplaciano $L$ de $M$ es un operador autoadjunto en $H$ Así que $H$ es también la suma directa ortogonal de sus eigenspaces, que también son de dimensión finita. Mi pregunta es, ¿cuándo estas dos descomposiciones ortogonales de $H$ ¿coinciden? Dicho de otra manera, ya que $L$ conmuta con la acción de $G$ cada eigespacio de $L$ es una dimensión finita subrepresentación de $H$ y por lo tanto una suma directa de irreducibles, y me gustaría conocer las condiciones bajo las cuales cada eigespacio es de hecho irreducible. Por ejemplo, esto es cierto para el círculo que actúa sobre sí mismo y para $SO(3)$ actuando sobre $S^2$ (donde obtenemos los polinomios armónicos de varios grados). ¿Es acaso siempre cierto para el caso de un espacio simétrico? Por supuesto, una referencia estándar además de la respuesta sería muy bienvenida.
Respuestas
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Para G/K simétrico los espacios eigénicos conjuntos de los operadores diferenciales invariantes en G/K son todos irreducibles. Además, cada subespacio irreducible de H tiene una multiplicidad limitada por uno. Para esto ver mi "Grupos y Análisis Geométrico". Cap. V Teoremas 4.3 y 3.5. En cuanto al operador de Laplace Beltrami L, el operador de Casimir en G (si es semimple) induce L en G/K (loc. cit. p.331). Si G/K es homogéneo en dos puntos, los operadores diferenciales invariantes en G/K son todos polinomiales en L (loc. cit. p/288), de modo que para estos espacios la respuesta a la pregunta de Dicks es afirmativa. Para G/K no simétrico, el teorema 3.5, p. 533, sigue dando una descomposición de H en espacios abarcados por coeficientes de representación que son funciones propias del operador de Casimir.
Suponiendo que la métrica en G/K, (G semisimple) proviene de la estructura riemanniana de la forma de Killing en G, sigue siendo cierto que las geodésicas que pasan por el origen en G/K son órbitas de subgrupos de un parámetro de G. Me parece que el argumento del Problema A4 p.568 debería seguir mostrando que el operador de Casimir en G inducirá el operador de Laplace Beltrami en G/K. Por lo tanto, la descomposición en el Teorema 3.5 p.533 debería seguir siendo una descomposición en funciones propias del Laplaciano. Pero no hay ninguna razón para esperar la irreducibilidad.
El teorema de Peter-Weyl dice que $L^2(G)$ es isomorfo a $\bigoplus_{\pi}\pi\otimes\pi^*$ como $G\times G$ representación, donde $\pi$ pasa por todas las representaciones unitarias irreducibles. De ello se desprende que $$ L^2(G/K)\cong L^2(G)^K\cong\bigoplus_\pi \pi\otimes(\pi^*)^K. $$ Así que, lo primero que necesitas absolutamente, es una propiedad de multiplicidad uno, que dice que $\dim\pi^K\le 1$ por cada $\pi$ . Esto ya es una propiedad rara, pero se sabe que es cierto para, por ejemplo $G=SO(n)$ y $K=SO(n-1)$ Para ello, véase el libro de Zhelobenko. Pero, el Laplaciano puede tener el mismo valor propio en diferentes representaciones. Para esto se necesita la teoría del peso más alto (ver por ejemplo el libro de Broecker y tom Dieck): Supongamos que $G$ a conectar. Las representaciones irreducibles están parametrizadas por los pesos más altos y el valor propio de Laplace depende del valor de una forma cuadrática sobre el espacio de pesos. Por tanto, en cada caso hay que identificar esos pesos con $K$ -invariantes y considerar los valores de la forma cuadrática, que en el caso de un grupo simple debe ser la forma de Killing. Supongo que en los casos anteriores podría ser cierto.
¿No debería ocurrir esto sólo en muy raras ocasiones? $S^1$ es abeliano, y $SO(3)$ actuando en $S^2$ implica inducir desde el toro maximal, por lo que en estos dos casos, cada irreducible aparece una vez. Pero en general (es decir, si $K$ no contiene un toroide máximo), las representaciones irreducibles aparecerán más de una vez, en cuyo caso no hay esperanza de que el valor propio del laplaciano las separe. Incluso cuando los irreducibles no aparecen varias veces, el valor propio del laplaciano no suele ser suficiente para separar dos irreducibles si el rango del grupo es mayor que 1.
Sugiero el siguiente documento https://arxiv.org/pdf/1602.04602v1.pdf .
Tal vez aquí hay alguna información útil, estoy reaserching estos mismos campos, pero todavía aprender https://arxiv.org/pdf/0805.2531.pdf
