Se perdió la emoción de 1998, con $1999=1999, 2000=2^4 \cdot 5^3, 2001=3 \cdot 23 \cdot 29,$ y $2002=2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13$
Una serie de reflexiones rápidas, demasiado largas para que quepan en un comentario:
esto requiere encontrar un "hueco primo" de longitud $k-1$ ya que $s(n+1)=1$ significa que $n+1$ es primo que $n+1$ es primo o potencia de un primo, pero el siguiente $k-1$ son compuestos ya que s(n+x)>1 para $2 \le x \le k$ . Esto también significa que $s(n+2)=2$ sólo porque $s(n+2)$ es par, por lo tanto $2$ es uno de los factores e implica que $(n+2)/2$ es primo (o que $(n+2)/2^j$ es primo para algunos $j \in \mathbb{Z}$ ), ya que $n+2$ sólo tiene dos factores y uno de ellos es $2$ (o $2^j$ ).
Para $s(n+k)$ tener $k$ factores primos distintos significa que tiene que ser como mínimo un producto del primer $k$ números primos, mientras que definitivamente tiene que ser un múltiplo del producto de $k$ números primos. Así que las dos restricciones clave son que s(n+k) es $k$ -compuesto (tiene $k$ factores primos) y que tanto (n+1) como (n+2)/2 son números primos.
Hmm, pensé que algo sobre el hecho de que o s(n+2) o s(n+4) sería divisible por $4$ mientras que el otro sería divisible por $2$ pero no por $4$ jugaría algún papel en esto.
Aquí hay algunos resultados rápidos al ejecutar "bash", "factor", y "sed" y "awk" en la línea de comandos:
Si quieres una carrera ascendente de 1,2 y 3 factores primos, el ejemplo más pequeño comienza en $n=63$ con $64=2^6, 65=5 \cdot 13, 66=2 \cdot 3 \cdot 11$
Si quieres una carrera ascendente de 1,2,3 y 4 factores primos, ya nos perdimos los emocionantes años de $n=1866$ y $n=1998$
1867: 1867
1868: 2 2 467
1869: 3 7 89
1870: 2 5 11 17
1999: 1999
2000: 2 2 2 2 5 5 5
2001: 3 23 29
2002: 2 7 11 13
Y los próximos años con carreras ascendentes de 1,2,3 y 4 factores primos comenzarán después de los años 3216, 4056 y 4176 con 3217, 4057 y 4177 como años primos. Lamentablemente, estos resultados computacionales no me dan el germen de ningún atajo o comprensión. También hay algunas secuencias descendentes en cuanto al número de factores primos, y su colocación tampoco ayuda.
Si se quiere una carrera ascendente de 1,2,3,4 y 5 factores primos, tenemos que esperar casi medio millón de años para llegar a los emocionantes años de $n=491850$ y $n=521880$ para $k=5$
491851: 491851
491852: 2 2 122963
491853: 3 19 8629
491854: 2 11 79 283
491855: 5 7 13 23 47
521881: 521881
521882: 2 260941
521883: 3 3 3 3 17 379
521884: 2 2 11 29 409
521885: 5 7 13 31 37
Ahora, con cuatro números calculados y encontrados, he buscado en la OEIS y he encontrado la secuencia correspondiente. Como la Enciclopedia Online ya tiene esta secuencia, cuelgo mi sombrero de cálculo y me voy a trabajar. :)
http://oeis.org/A086560
Inicio de la primera serie de n números sucesivos en los que el i-ésimo número tiene exactamente i divisores primos distintos para i = 1..n
2, 5, 64, 1867, 491851, 17681491, 35565206671
J.-M. De Koninck, Ces nombres qui nous fascinent, Entrada 64, p. 23, Ellipses, París 2008.
