Desplazamiento de una familia de operadores autoadjuntos conmutativos a otra sin perder la conmutatividad en el camino

Question

En realidad, esta no es una pregunta mía, así que seré breve en la motivación y no diré nada más allá de que si esto fuera cierto, unas cuantas técnicas de análisis armónico elegantes que un colega mío utilizó para demostrar sus resultados recientes podrían ser sustituidas por el teorema del valor medio.

Supongamos que $A_1,\dots,A_n$ y $B_1,\dots,B_n$ son dos familias conmutativas de operadores autoadjuntos en un espacio de Hilbert $H$ (eso es todo $A$ de los viajes al trabajo, todos los $B$ de los viajes al trabajo, pero $A$ pueden no conmutar con $B$ 's). Supongamos que $\|A_k-B_k\|\le 1$ para todos $k$ . ¿Es cierto que existe una familia de un parámetro $C_k(t)$ de conmutación autoadjunta (para cada $t$ ) tales que $C_k(0)=A_k$ , $C_k(1)=B_k$ y $\int_0^1\left\|\frac d{dt}C_k(t)\right\|dt\le M(n)$ donde $M(n)$ es una constante que depende de $n$ ¿sólo? En otras palabras, ¿es el conjunto de los desplazamientos $n$ -¿las parejas de operadores autoconjuntos son un "conjunto de arcos de cuerda"?

Answer 1

No estoy seguro de que sea relevante exactamente, o de que todavía tenga interés en este problema, pero quizás pueda encontrar este comentario útil o interesante.

$\mathrm{Hom}(\mathbb{Z}^r,G)$ generalmente NO está conectada a la ruta. Por ejemplo, si $r\geq 3$ y $G=\mathsf{SO}(n)$ , sobre $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ , para $n\geq 4$ entonces se desconecta. Por lo tanto, en este escenario, hay colecciones conmutables $\lbrace A_i\rbrace$ y $\lbrace B_j\rbrace$ que NO están conectadas por un camino a través de elementos conmutables.

Answer 2

Aquí hay un "rasguño de una prueba". Puede que esté completamente equivocado ya que lo pensé a la 1 de la mañana.

1. Podemos unirnos a la familia $A_i$ protectores $P_\lambda$ donde $\lambda \in \mathbb R^n$ .

2. Para $J=(j_1,...,j_n)\in \mathbb Z^n$ Dejemos que $V_J=Im P_J \cap \bigcap Ker P_{j_1,..., j_i-1,...j_n}$ .

3. Tenemos un $A_i$ descomposición invariante $V=\bigoplus V_J$ y $||(A_i-j_i)|_{V_J}|| \leq 1$ .

4. podemos suponer que $(A_i)|_{V_J}=j_i$ (conectándolo mediante una línea recta).

5. Hacemos lo mismo para $B_i$ .

6. Ahora el problema debe ser similar al caso f.d. Este paso no lo he pensado bien, pero espero que esté bien.

Buena suerte