¿Cómo resolver la cuadrática sobre la raíz cuadrada de la cuádruple es igual a la constante?

Question

Tenemos que resolver la siguiente ecuación para l.

$$\frac{n_1 - \ell n_2 + \ell ^2 n_3}{\sqrt{d_1 - \ell d_2 + \ell ^2d_3 - \ell ^3d_4 + \ell ^4d_5}} - \cos{a_0} = 0$$

Ya hemos probado a linealizar nuestras fórmulas, de modo que la ecuación anterior quedaría así:

$$\frac{c_1 - \ell c_2}{\sqrt{c_3 - \ell c_4 + \ell^2c_5}} - \cos{a_0} = 0$$

Sin embargo, el resultado de la segunda ecuación no es lo suficientemente preciso para nuestro cálculo. Para la segunda ecuación pudimos resolver con ella mathematica. Sin embargo la segunda ecuación no pudo ser resuelta por mathematica.

¿Qué aproximaciones son posibles para obtener las soluciones o buenas aproximaciones de la primera ecuación?

Answer 1

Esto puede reducirse a una ecuación cuártica susceptible de tratamiento exacto (por ejemplo, véase aquí ). Esto se puede ver de la siguiente manera:

$$\frac{n_1 - \ell n_2 + \ell ^2 n_3}{\sqrt{d_1 - \ell d_2 + \ell ^2d_3 - \ell ^3d_4 + \ell ^4d_5}} - \cos{a_0} = 0$$

puede reescribirse como

$$(n_1 - \ell n_2 + \ell ^2 n_3)^2=(d_1 - \ell d_2 + \ell ^2d_3 - \ell ^3d_4 + \ell ^4d_5)\cos^2{a_0}$$

proporcionado $d_1 - \ell d_2 + \ell ^2d_3 - \ell ^3d_4 + \ell ^4d_5\ne 0$ Es decir

$$n_1^2 +\ell^2 n_2^2 + \ell ^4 n_3^2-2\ell n_1n_2+2\ell^2n_1n_3-2\ell^3n_2n_3=(d_1 - \ell d_2 + \ell ^2d_3 - \ell ^3d_4 + \ell ^4d_5)\cos^2{a_0}.$$

A continuación, recopilando términos similares se obtiene

$$(n_3^2-d_5\cos^2{a_0})\ell^4-(2n_2n_3-d_4\cos^2{a_0})\ell^3+(2n_1n_3+n_2^2-d_3\cos^2{a_0})\ell^2-(2n_1n_2-d_2\cos^2{a_0})\ell+n_1^2-d_1\cos^2{a_0}=0.$$

Ahora puedes resolverlo analítica o numéricamente pero las fórmulas son bien conocidas como puedes conseguir en el enlace que he dado arriba.