¿Se conserva la equivalencia de las medidas de probabilidad bajo productos infinitos?

Question

Para todos $n\in \Bbb N$ , dejemos que $\mu_n$ y $\nu_n$ sean medidas de probabilidad equivalentes en un espacio medible $(\Omega_n,\mathcal{F}_n)$ . Son

$$ \mu:=\bigotimes_{n=1}^\infty\mu_n \quad \text{and} \quad \nu:=\bigotimes_{n=1}^\infty\nu_n$$

¿también son equivalentes? Sospecho que no lo son en general, a menos que el siguiente ejemplo (inspirado en esta pregunta ) contiene un error. Pero Me interesarían ejemplos más sencillos si es que hay alguna.

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Para todos $n\in \Bbb N$ , dejemos que $(\Omega_n,\mathcal{F}_n)=(\Bbb R,\mathcal{B}(\Bbb R))$ y $\mu_n=\mathcal{N}(0,1)$ y $\nu_n=\mathcal{N}(1,1)$ . Sea

$$ X\colon \Bbb R^\Bbb N \to \Bbb R^\Bbb N, \quad \omega=(\omega_1,\omega_2,\ldots) \mapsto \omega $$

denota la variable canónica. Sus componentes $X_1,X_2,\ldots$ son entonces i.i.d. $\mathcal{N}(0,1)$ variables aleatorias bajo $\mu$ y son i.i.d. $\mathcal{N}(1,1)$ variables aleatorias bajo $\nu$ . Por la ley de los grandes números,

$$ \frac{1}{n}\sum_{k=1}^nX_k\xrightarrow[\mu-a.s.]{n\to\infty} 0, \quad \frac{1}{n}\sum_{k=1}^nX_k\xrightarrow[\nu-a.s.]{n\to\infty} 1,$$

así que $\mu$ y $\nu$ que son equivalentes daría como resultado $0=1$ .

Answer 1

Como se indica en los comentarios, existe una solución completa a este problema siempre que cada $\mathcal{F}_n$ es el Borel- $\sigma$ -con respecto a alguna topología en $\Omega_n$ . En este caso, Teorema de Kakutani produce lo siguiente:

1.) $\mu$ y $\nu$ son equivalentes o mutuamente singulares.

2.) Establecer $$ \rho_n:=\int_{\Omega_n} \sqrt{ \frac{\mathrm{d} \mu_n} {\mathrm{d} \nu_n} } \mathrm{d} \nu_n.$$ Entonces $\mu$ y $\nu$ son equivalentes si y sólo si $$ \prod_{n \in \mathbb{N}} \rho_n >0,$$ lo que equivale a la convergencia de la serie $$ \sum_{n \in \mathbb{N}} \log \rho_n.$$

Se puede encontrar una prueba aquí .