¿La diagonal de un rectángulo con respecto a su perímetro tiene una relación, como Pi?

Question

La relación entre el diámetro y la circunferencia de un círculo mereció su propia letra griega, Pi.

Me he preguntado si existe una relación similar, o importante, en un rectángulo, es decir, su diagonal respecto al perímetro.

¿Tengo razón al suponer que es porque no se trata de un valor único, sino de una fórmula más compleja que implica la trigonometría? ¿O quizás no es una fórmula muy utilizada?

Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Puedes ver con un par de ejemplos que no existe tal "rectángulo $\pi$ " - o más exactamente, que diferentes rectángulos pueden tener diferentes relaciones perímetro/diagonal.

Primero, considere un cuadrado. Por el teorema de Pitágoras sabemos que la relación perímetro/diagonal de un cuadrado es justo ${4\over \sqrt{2}}=2\sqrt{2}.$

Consideremos ahora un rectángulo "realmente muy fino", por ejemplo, un rectángulo de longitud $1$ y la altura $\epsilon$ para algún positivo muy pequeño $\epsilon$ . La longitud de una diagonal es "básicamente" $1$ y el perímetro es "básicamente" $2$ por lo que obtenemos una relación perímetro/diagonal de "básicamente" $2$ . Por supuesto, esto no es inmediatamente riguroso, pero aún así debería ser bastante convincente - y ahora puedes verificarlo, por ejemplo, viendo lo que sucede si ponemos $\epsilon={1\over 2}$ .

Dicho esto, cualquier dos similar rectángulos compartirán la misma relación perímetro/diagonal. Por ejemplo, " $\pi$ para las plazas" tiene sentido y es $2\sqrt{2}$ Según lo anterior.

Tenga en cuenta que dos círculos cualesquiera son automáticamente similares entre sí. La imagen se vuelve más agradable si pensamos en la analogía $$\mbox{circles:ellipses::squares:rectangles.}$$ Al igual que en el caso de los rectángulos, podemos encontrar elipses con diferentes relaciones perímetro/diámetro máximo, pero dos elipses similares (por ejemplo, dos círculos) tendrán la misma relación.

Answer 2

Para cualquier n-gono regular define su radio como el radio de su incirculo y $\pi_n$ como la relación entre su perímetro y su diámetro. Entonces, por supuesto, por definición, es $2\pi_nr$ y es fácil demostrar que su área es igual a $\pi_nr^2$ .

Por ejemplo, $\pi_3=3\sqrt3$ y $\pi_4=4$ en general $\pi_n=n\cdot\tan(\pi/n)$ .

Answer 3

Solución trigonométrica

$a=d\cos x \qquad b=d\sin x$

perímetro : $2(a+b)=2d\:(\cos x+\sin x)$

$k$ = relación perímetro/diagonal

$k = \dfrac{2(a+b)}{d}=2(\cos x+\sin x)$

$\cos x = \sin \Big( x + \dfrac{\pi}{2} \Big)$

$\sin u + \sin v = 2\sin\Big( \dfrac{u+v}{2} \Big)\cos\Big( \dfrac{u-v}{2} \Big)$

$u = x+\dfrac{\pi}{2} \; \& \; v = x \quad \Rightarrow \quad k = 2\sqrt{2}\sin\Big(x+\dfrac{\pi}{4}\Big)$

$\color{green}{y_1=2\sin x}\;,\; \color{red}{y_2=2\cos x}\;,\; \color{blue}{y_3=k=2(\sin x+\cos x)}$

$x\in \Big[ 0, \dfrac{\pi}{2} \Big] \quad \Rightarrow \quad k\in \big[ 2, 2\sqrt{2} \big]$

$\pi \approx 3.14 > 2\sqrt{2} \approx 2.83$

Conclusión

La relación perímetro/diagonal de un rectángulo no puede ser igual a $\pi$ .