Pregunta sobre ecuaciones diferenciales parciales: Indique si las siguientes EDP son lineales homogéneas, lineales no homogéneas o no lineales:

Question

Indique si las siguientes EDP son lineales homogéneas, lineales no homogéneas o no lineales:

$u_{t}+u_{x}=sin(x)u$

$u_{tt}-u_{xx}=e^{t}u_{t}$

$u_{tt}-u_{xx}=x^{2}$

$u_{xx}+u_{yy}=u_{x}u_{y}$

En cuanto a la primera ecuación, creo que es lineal homogénea, y la segunda es lineal no homogénea... ¡pero no estoy seguro de las dos últimas! ¡Agradecería cualquier ayuda! Gracias de antemano.

Answer 1

Que sea sencillo.

Primero agrupa todos los términos que implican $u$ para obtener una expresión de la forma $$ \mathcal{D}(u)=f(t,x,y) $$ si $f(t,x,y)=0$ su ecuación se dice homogéneo , de lo contrario se dice no homogéneo

A continuación, considere la homogéneo ecuación $\mathcal{D}(u)=0$ (ignorando el término eventual $f$ ). Por definición la ecuación se dice lineal si se dan dos soluciones $u, v$ y dos escalares $\alpha, \beta$ entonces $\alpha u+\beta v$ también es una solución. En otro término hay que comprobar que $\mathcal{D}(\alpha u+\beta v)=\alpha \mathcal{D}(u) + \beta \mathcal{D}(v)$ . Si la ecuación no es lineal se dice no lineal .

1. $\mathcal{D}(u)=u_t+u_x-sin(x)u$ y $f=0$ , por lo que es linealmente homogénea.

2. $\mathcal{D}(u)=u_{tt}-u_{xx}-e^tu_t$ y $f=0$ , por lo que es linealmente homogénea.

3. $\mathcal{D}(u)=u_{tt}-u_{xx}$ y $f=x^2$ por lo tanto, lineal no homogénea.

4. $\mathcal{D}(u)=u_{xx}-u_{yy}-u_xu_y$ y $f=0$ por lo tanto, homogéneo no lineal.

Answer 2

Una EDP lineal es aquella que es de primer grado en todas sus variables de campo y derivadas parciales. Por lo tanto, todas ellas son lineales.

1. $u_{t}+u_{x}=sin(x)u$

   LINEAL HOMOGÉNEA.

2. $u_{tt}-u_{xx}=e^{t}u_{t}$

   LINEAL HOMOGÉNEA.

3. $u_{tt}-u_{xx}=x^{2}$

   LINEAL NO HOMOGÉNEA.

4. $u_{xx}+u_{yy}=u_{x}u_{y}$

   LINEAL HOMOGÉNEA.

Answer 3

Las EDP son lineales si existe una lineal operador $\mathscr{D}$ que opera sólo en $u$ y son homogéneos si todo términos contenidos en la EDP se contabilizan en $\mathscr{D}u.$ $$ \mathscr{D}u = 0 \text{ is homogeneous} \\ \mathscr{D}u = f \text{ is nonhomogeneous}. $$