Para subvariedades generales de un toro algebraico, la tropicalización conoce la clase de la subvariedad en una compactación tórica adecuada del toro algebraico. Por lo tanto, se pueden calcular productos de intersección de subvariedades de un toro de forma tropical. Véase el reciente preprint de Osserman-Payne para conocer el estado del arte.
Para las subvariedades X que son schon (que es una condición de suavidad natural), se puede decir mucho más. Hay un complejo dualizador natural $\Gamma_X$ que mapea a Trop(X) cuya homología refleja el bit más bajo de la filtración de pesos sobre X. A partir de este hecho, se puede obtener la generalización natural de $g(X)\geq b_1(\Gamma)$ (en general no es cierto que $g(X)\geq b_1(\operatorname{Trop}(X))$ porque el mapa de tropicalización puede tener fibras desconectadas (como señaló Speyer)).
Hay dos casos especiales en los que se puede decir mucho más: cuando $X$ es una hipersuperficie schon y cuando Trop(X) es suave (suavidad significa aquí que Trop(X) está localmente modelada en abanicos de matrices). En este caso, se pueden decir cosas sobre los números de Hodge de X. Véase mi artículo con Stapledon para más detalles. Atención: los resultados de ese trabajo requieren compactar X completando el toro algebraico a una variedad tórica. Estamos trabajando en una secuela que utilizará una teoría de Hodge más sofisticada para evitar ese problema.
