Cómo calcular $[\dot c, X]$ en un colector?

Question

Consideremos una curva suave $c : [0,1] \to M$ y $X \in \mathcal X (M)$ . ¿Cómo se puede obtener una fórmula explícita para $[\dot c, X]$ ?

Conozco el enfoque teórico: por cada $t \in [0,1]$ existe una vecindad $U_t$ de $c(t)$ y un campo tangente local $C_t \in \mathcal X (U_t)$ que se extiende $\dot c$ por lo que se calcula $[C_t, X]$ y luego lo evalúa en $c(t)$ .

La teoría es bonita, pero llevarla a la práctica no parece evidente; ¿cómo debo hacerlo? Concretamente, el problema es que en coordenadas locales y eligiendo $X = \partial _i$ Obtendría $- \sum \limits _j (\partial _i C_t ^j) \partial _j$ . ¿Cómo podría evaluar $\partial _i C_t ^j$ en $c(t)$ ? En otras palabras, ¿cómo puedo calcular $\partial _i \dot c ^j$ ?

Answer 1

El soporte de la mentira $[\dot c,X]$ no está bien definida. Un soporte de Lie requiere dos campos vectoriales definida en un conjunto abierto, por lo que, como has observado, para dar sentido a este paréntesis es necesario extender $\dot c$ a un campo vectorial. Pero diferentes extensiones darán resultados diferentes.

Por ejemplo, en $\mathbb R^2$ Supongamos que $c(t) = (t,0)$ y $X(x,y) = \partial/\partial y$ . Entonces $V_1(x,y) = \partial/\partial x$ y $V_2(x,y) = (1+y)\partial/\partial x$ son ambas extensiones de $\dot c$ pero $[V_1,X] = 0$ mientras que $[V_2,X] = - \partial/\partial x$ .