Determinación del tiempo de rotura de una ola

Question

Estoy resolviendo la siguiente ecuación diferencial parcial, con algunas condiciones iniciales, dada por: $$u_t + u\,u_x = 0,\,\, u(x, 0) = \exp(-x^2)$$ y dado que las líneas características pasan por algún punto $(\xi, 0)$ en el $x$ eje. Lo he resuelto utilizando el método de las características, y los coniditones iniciales, y he obtenido la solución $$u(x, t) = \exp\left((ut-x)^2\right)$$

Ahora necesito encontrar el tiempo de ruptura. Sé que este es el momento en que $u_x$ tiene un gradiente infinito. Pero parece que cuando diferencie la solución, no habrá denominador y no será posible encontrar $t_b$ y el correspondiente $x_b$ ?

Answer 1

Como ha mencionado, esta ecuación ( Ecuación de Burgers ), al ser un caso particular de ley de conservación escalar, puede resolverse mediante líneas características. Y el tiempo emergente de schok puede ser calculado igualmente.

Permítanme denotar $f(x)=u(x,0)=e^{-x^2}$ . Consideremos dos líneas características que surgen de $\xi_0,\xi_1\in\mathbb{R}$ . Están dadas por $$x=f(\xi_0) t +\xi_0 \quad\mbox{ and }\quad x=f(\xi_1) t +\xi_1,$$ respectivamente. Se cruzarán cuando $$f(\xi_0) t +\xi_0 = x=f(\xi_1) t +\xi_1,$$ es decir, cuando $$t=\frac{\xi_1-\xi_0}{f(\xi_0)-f(\xi_1)}$$ Tenga en cuenta que $t>0$ siempre que $f$ es decreciente en el intervalo $[\xi_0,\xi_1]$ .

Si tomamos el límite $\xi_1\to\xi_0$ observamos que el tiempo de ruptura para $\xi_0$ converge a $$t=-\frac{1}{f'(\xi_0)}.$$ Por lo tanto, el tiempo mínimo en el que surge el choque es $$t^*=-\frac{1}{\min_{x\in\mathbb{R}}\{f'(x)\}}.$$