variedades con puntos en campos numéricos

Question

Dejemos que $V$ sea una variedad proyectiva, definida sobre $\mathbb{Q}$ . Supongamos que para cada campo numérico $K \neq \mathbb{Q}$ Hay un $K$ -punto de $V$ . ¿Se deduce que $V$ tiene un $\mathbb{Q}$ -¿punto?

En términos más generales, ¿cuáles son las restricciones de los posibles conjuntos $S$ de los campos numéricos $K \supset k$ tal que para alguna variedad proyectiva $V$ definido sobre $k$ tenemos que $V$ tiene un $K$ -si y sólo si $K \in S$ ? Nótese que aquí tiene que haber alguna restricción no trivial, ya que sólo hay un número contable de variedades proyectivas definidas sobre campos numéricos, pero un número incontable de conjuntos de campos numéricos cerrados bajo extensiones.

Answer 1

A menudo me he hecho preguntas similares. Por lo que recuerdo, su pregunta está muy abierta.

Sin embargo, se pueden decir algunas cosas sobre dicha variedad:

1) $V$ debe tener un divisor racional de grado $1$ . [Así, una curva con su propiedad debe tener género al menos $2$ .]

De hecho, tiene puntos sobre campos cuadráticos y cúbicos.

2) $V$ debe tener puntos en todas partes a nivel local.

De hecho, para todos los $p \leq \infty$ existen campos numéricos $K$ estrictamente mayor que $\mathbb{Q}$ que se incrustan en $\mathbb{Q}_p$ .

Permítanme también señalar que dado cualquier campo finito $\mathbb{F}_q$ no es difícil construir curvas que tengan puntos sobre todas las extensiones algebraicas propias de $\mathbb{F}_q$ pero no sobre $\mathbb{F}_q$ . Como primer ejercicio en esta dirección, hay que determinar la lista finita de $q$ tal que existe un género tal $2$ curva sobre $\mathbb{F}_q$ (Estoy bastante seguro de que una vez escribí un ejemplo para demostrar que esta lista no es vacía).

He aquí una variante de su pregunta a la que he dado suficientes vueltas como para estar seguro de que no sé qué hacer con ella: dejemos $[C]: y^2 = P_4(x)$ sea una curva cuártica hiperelíptica sobre $\mathbb{Q}$ que tiene puntos en todas partes localmente pero no $\mathbb{Q}$ -puntos racionales. Así, $C$ representa una orden $2$ elemento del grupo Shafarevich-Tate de su curva elíptica Jacobiana. Claramente $C$ tiene muchos puntos cuadráticos: tome cualquier $x \in \mathbb{Q}$ y extraer la raíz cuadrada de $P_4(x)$ . No soy un teórico analítico de números, pero creo que es bastante rutinario ver que $P_4(\mathbb{Q})$ golpea infinitamente muchas clases cuadradas en $\mathbb{Q}$ por lo que hay infinitos campos de división cuadrática distintos. Si $C$ no ha logrado tener un punto sobre $\mathbb{Q}_p$ para algunos $p$ también podríamos construir infinitos campos cuadráticos *no* de separación. Pero como $C$ tiene puntos en todas partes a nivel local, no sé cómo descartar la posibilidad de que $C$ tiene puntos sobre cada campo cuadrático $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ . ¿Existe realmente esa curva? Parece razonable suponer no pero, ¿quién sabe? Yo no.

Por último, su pregunta me recuerda a este documento de Jordan Rizov, en el que demuestra un resultado algo similar, pero más débil. Creo que su artículo es bonito: ha encontrado de forma bastante inteligente algo en esta línea que se puede demostrar realmente.

Answer 2

Un caso sencillo en el que la respuesta a su pregunta es positiva lo proporciona El lema de Heegner una observación hecha por Heegner en su solución del problema de la clase número 1 y extraída de su prueba por Birch: si $y^2 = f_4(x)$ , donde $f_4$ es un polinomio cuártico cuyo coeficiente principal no es un cuadrado, tiene una solución en un campo numérico de grado impar, entonces tiene un punto racional. Este lema tiene una interpretación cohomológica, donde la afirmación se reduce esencialmente a la observación de que si $a^n$ es un cuadrado para algún impar $n$ entonces también lo es $a$ .

Supongo que hay otros casos del lema de Heegner para otros tipos de curvas, pero no sé nada en concreto.