Ecuación de continuidad: ¿Por qué debe conservarse la masa?

Question

Si tengo una tubería con un fluido dentro, y considero las restricciones que la tubería pone en mi situación, soy capaz de ver sólo una: el volumen de la tubería, es fijo. Por lo tanto, no importa lo que eche y lo que salga, el volumen del fluido dentro de la tubería debe ser el mismo.

Una visualización alternativa: la tubería es un depósito. Se llena de arena. El almacén está lleno. Ahora sigues echando cosas y, obviamente, hay que desalojar un volumen igual al que entra (a través de una ventana rota o algo así. Esto es, por supuesto, sólo una ilustración). No importa si echas un metro cúbico de hierro o un metro cúbico de heno. Tirará un metro cúbico de arena para acomodar lo que hayas tirado.

Considerando un flujo constante, es decir, que la velocidad y la densidad del fluido son funciones de la posición, no del tiempo, concluyo que el volumen que entra en la tubería, debe ser igual al volumen que sale de ella, y por tanto $$ A_1V_1=A_2V_2, $$ donde $ A_{i}$ y $ V{i} $ corresponden al área de las secciones transversales y a las velocidades de flujo en los dos extremos de la tubería que tengo. Si se hace la tubería infinitesimalmente pequeña, se obtiene una forma diferencial, sin tener en cuenta la conservación de la masa.

Sé que debo estar muy equivocado. Si alguien pudiera mostrarme el error en este razonamiento, sería de gran ayuda.

Edición: Aquí hay algo que se me ocurrió.

Esto es lo que había dicho inicialmente:

Considerando un flujo constante, es decir, la velocidad y la densidad del fluido son funciones de la posición, no del tiempo...

Ahora bien... El ejemplo del almacén que utilicé no cumple estrictamente este criterio. A medida que se echa hierro o heno (o lo que sea), la cantidad de arena disponible en el almacén disminuye, y después de un cierto tiempo, cuando toda la arena es expulsada, ENTONCES se tiene un flujo constante.

En un flujo constante, técnicamente, tener diferentes tasas de flujo de masa significaría que se está creando/destruyendo masa en algún lugar dentro de la tubería (existencia de fuente/sumidero de masa). En caso de que no dispongamos de tal disposición, la masa debe conservarse. Por lo tanto, la anomalía parece estar resuelta.

Answer 1

El paso lógico que parece que te falta es el expansión o contracción de las cosas dentro del almacén. Si el flujo de material es constante, el flujo de masa total en el almacén (y no el flujo de volumen) es cero. Si se introducen cosas a alta densidad y se retiran a baja densidad, entonces en el punto de entrada, el flujo de volumen tiene una magnitud menor que en el punto de salida. La discrepancia se compensa con la expansión de la materia que ya está dentro. Esto no significa que la densidad en cualquier punto cambie: claramente no puede en un flujo constante. Es útil imaginar que se sigue un paquete de materia desde la entrada hasta la salida. Este paquete tiene límites que se mueven con el material, por lo que siempre está formado por el mismo material. Como la densidad es menor cuando sale, debe expandirse a lo largo del camino. Como el flujo es constante, los flujos de entrada y salida son constantes en el tiempo, por lo que guardan la misma relación entre sí tanto si los comparamos simultáneamente como con un desfase. Conceptualmente, las cosas se aclaran si dejamos que ese retraso sea igual al tiempo que tarda un paquete en pasar por el almacén. Evidentemente, la masa del paquete permanece constante, pero su volumen no. El tiempo que tarda el paquete en entrar debe ser igual al tiempo que tarda en salir, o el número de paquetes en el almacén no sería constante en el tiempo. Por lo tanto, el flujo de masa total en el almacén debe ser cero.

La conservación de la masa se puede escribir: $$\nabla \cdot (\rho \mathbf{u}) = 0.$$ Esto se puede ampliar: $$\rho \nabla \cdot \mathbf{u} + \mathbf{u} \cdot \nabla \rho = 0.$$ El primer término del lado izquierdo describe la expansión o la compresión del material en el lugar. Es cero en el flujo constante. El segundo término es la expansión o compresión debida a la advección del fluido desde un lugar donde la densidad es diferente. En los fluidos compresibles, es distinto de cero incluso en flujos estables.

Answer 2

La ecuación de continuidad dice: $\nabla \cdot \vec{j} + \frac{\partial}{\partial t}\rho = 0$ ( $\vec{j}$ es el vector de flujo y $\rho$ es la función de densidad de masa). Lo que has hecho es demostrar que $\nabla \cdot \vec{j} = 0$ (porque si cierras la tubería en una superficie cerrada, el flujo de entrada, es el mismo que el de salida, por lo que el flujo total es cero) y entonces lleva a $\frac{\partial}{\partial t}\rho$ debe ser cero, es decir, la masa se conserva.

Me alegro de ayudar.