Raíces primitivas de la unidad que aparecen como valores propios de un producto

Question

Actualmente estoy tratando de entender la demostración del Lemma de Benson (1.9.1) en Cuadrángulos generalizados por Payne y Thas.

Antecedentes

Tenemos dos $k × k$ matrices $Q$ y $M$ . Queremos determinar alguna fórmula para $\operatorname{tr}(QM)$ . La siguiente información ha sido probada hasta ahora:

La matriz $Q$ es una matriz de permutación de orden $n$ . Por lo tanto, los valores propios $\xi$ de $Q$ son todos $n$ -Raíces de la unidad.

y

La matriz $M$ es una matriz simétrica real. Tiene valores propios $\lambda_0, \lambda_1,$ y $\lambda_2$ con multiplicidad $m_0, m_1,$ y $m_2$ respectivamente. Sabemos que cada $\lambda_j$ es un número entero, y además que $\lambda_0 = 0$ y $m_1 = 1$ .

También sabemos que $QM = MQ$ y que $\operatorname{tr}(QM)$ es un número entero. Por último, sabemos que hay algún valor propio $\theta_1$ de $QM$ tal que $\theta_1 = \lambda_1$ .

Deducciones

Dado que ambos $Q$ y $M$ son matrices normales, ambas son diagonalizables. Además, como conmutan, son simultáneamente diagonalizables (por $S$ , digamos). Entonces

$$ S(QM)S^{-1} = (SQS^{-1})(SMS^{-1}),$$

y así los valores propios $\theta$ de $QM$ tienen la forma $\theta = \xi\lambda$ donde $\xi$ es un valor propio de $Q$ y $\lambda$ es un valor propio de $M$ . Dado que el valor propio $\theta_1$ está de acuerdo con $\lambda_1$ (que tiene una multiplicidad de $1$ como un valor propio de $M$ ), se deduce que $\theta_1$ tiene una multiplicidad de $1$ como un valor propio de $QM$ . Además, como $\lambda_0 = 0$ tiene una multiplicidad de $m_0$ en $M$ se deduce que $0$ es un valor propio de $QM$ también con multiplicidad de $m_0$ .

Por lo tanto, todos los demás valores propios de $QM$ tienen la forma $\xi\lambda_2$ . Sabemos que hay exactamente $m_2$ tales valores propios.

El problema

Payne y Thas afirman el siguiente hecho:

Para cada divisor $d$ de $n$ , dejemos que $U_d$ denotan la suma de todas las primitivas $d$ -raíces de la unidad. Entonces $U_d$ es un número entero. Para cada divisor $d$ de $n$ el primitivo $d$ -las raíces de la unidad contribuyen todas el mismo número de veces a los valores propios $\theta$ de $QM$ con $|\theta| = \lambda_2$ . Sea $a_d$ denotan la multiplicidad de $\xi_d\lambda_2$ como un valor propio de $QM$ con $d \mid n$ y $\xi_d$ una primitiva $d$ -raíz de la unidad, entonces tenemos

$$\operatorname{tr}(QM) = \lambda_1 + \sum_{d \mid n}(a_dU_d)\lambda_2.$$

Esta afirmación en negrita es lo que me cuesta entender.

• Si $\xi_1$ y $\xi_2$ son dos primitivas diferentes $d$ -raíces de la unidad, ¿por qué la multiplicidad de $\xi_1\lambda_2$ y $\xi_2\lambda_2$ ser iguales?

• Si $\xi$ es un $d$ -raíz de la unidad, y existe un valor propio $\xi\lambda_2$ de $QM$ ¿Por qué? todos los demás $d$ -¿también aparecen las raíces de la unidad?

Answer 1

$\def\i{\mathrm{i}}$ En primer lugar, por definición, para cualquier $d \in \mathbb{N}_+$ El $d$ -El polinomio ciclotómico número uno es $$ {\mit Φ}_d(x) = \prod_{\substack{0 \leqslant l \leqslant d - 1\\(l, d) = 1}} ( x - ω_d^l), $$ donde $ω_d = \exp\left( \dfrac{2π\i}{d} \right)$ . Tenga en cuenta que ${\mit Φ}_d(x) \in \mathbb{Z}[x] \subseteq \mathbb{Q}[x]$ y ${\mit Φ}_d(x)$ es irreducible en $\mathbb{Q}[x]$ por lo que para cualquier $0 \leqslant l \leqslant d - 1$ tal que $(l, d) = 1$ el polinomio mínimo de $ω_d^l$ en $\mathbb{Q}$ es ${\mit Φ}_d(x)$ .

A continuación, para cualquier $f(x) \in \mathbb{Q}[x]$ , si $\dfrac{f(x)}{x - ω_d^l} \in \mathbb{C}[x]$ para algunos $0 \leqslant l \leqslant d - 1 $ y $(l, d) = 1$ es decir $f(ω_d^l) = 0$ porque el polinomio mínimo de $ω_d^l$ en $\mathbb{Q}$ es ${\mit Φ}_d(x)$ entonces $\dfrac{f(x)}{{\mit Φ}_d(x)} \in \mathbb{Q}[x]$ . Esto implica además que si $\dfrac{f(x)}{(x - ω_d^l)^m} \in \mathbb{C}[x]$ para algunos $m \in \mathbb{N}_+$ entonces $\dfrac{f(x)}{({\mit Φ}_d(x))^m} \in \mathbb{Q}[x]$ .

Ahora, como todos los valores propios de $QM$ son de la forma $ξλ$ , donde $ξ$ y $λ$ son valores propios de $Q$ y $M$ respectivamente, y la multiplicidad de $λ_0 = 0$ como un valor propio de $M$ es $m_0$ y la de $λ_1$ como un valor propio de $M$ es $1$ y $θ_1 = λ_1 \in \mathbb{Z}$ entonces $$ |xI - QM| = x^{m_0} (x - λ_1) f_0(x), $$ donde $$ f_0(x) = \prod_{j = 1}^{k - m_0 - 1} (x - λ_2 ξ_j) \in \mathbb{C}[x], \quad ξ_j^n = 1. $$ Tenga en cuenta que $QM \in \mathrm{M}_{k × k}(\mathbb{Z})$ implica $|xI - QM| \in \mathbb{Z}[x]$ entonces $f_0(x) \in \mathbb{Z}[x]$ . Definir $$ f(x) = \frac{1}{λ_2^{k - m_0 - 1}} f_0(λ_2 x) = \prod_{j = 1}^{k - m_0 - 1} (x - ξ_j) \in \mathbb{Q}[x]. $$ Para cualquier $d \mid n$ supongamos que la multiplicidad de $ω_d^l$ ( $0 \leqslant l \leqslant d - 1$ y $(l, d) = 1$ ) en $f(x)$ es $a_{d, l}$ y $a_d = \max\limits_{\substack{0 \leqslant l \leqslant d - 1\\(l, d) = 1}} a_{d, l}$ . Porque $\dfrac{f(x)}{(x - ω_d^l)^{a_d}} \in \mathbb{C}[x]$ para algunos $l$ entonces $\dfrac{f(x)}{({\mit Φ}_d(x))^{a_d}} \in \mathbb{Q}[x]$ , lo que implica $a_{d, l} = a_d$ para todos $0 \leqslant l \leqslant d - 1$ y $(l, d) = 1$ .

Answer 2

Esto es un hecho geométrico: las raíces de la unidad deben aparecer todas con la misma frecuencia porque, de lo contrario, la suma de todos los valores propios de $QM$ (el rastro de $QM$ ) no será un número entero, sino un número complejo.

Obsérvese que los valores propios de $M$ son números enteros, y los valores propios de $Q$ son raíces de la unidad, y los valores propios de $QM$ son productos de un valor propio de $M$ y un valor propio de $Q$ .

Desde una perspectiva puramente geométrica, si $\lambda$ es un número entero y $u_1, \ldots, u_d$ son los $d$ raíces de la unidad, entonces $\lambda u_1, \ldots, \lambda u_d$ son números complejos igualmente espaciados en el plano con igual magnitud. Su suma es un número entero $(\lambda)$ pero si tomamos cualquier combinación lineal no ponderada de ellos, el resultado es necesariamente un número complejo.

Porque la traza de una matriz es igual a la suma de sus valores propios (contando repetidamente las multiplicidades), y porque la traza de $QM$ se sabe que es un número entero, no puede haber pesos desiguales. Debe ser que para cada valor propio entero $\lambda$ de $M$ los valores $\lambda u_1, \ldots \lambda u_d$ aparecen con la misma frecuencia como valores propios de $QM$ (es decir, tienen la misma multiplicidad).