Una cadena de Markov {Xn, n ≥ 0} con los estados 1, 2,3 tiene la matriz de probabilidad de transición con una distribución inicial (1/2,0,1/2), que es P(X1=3|X2=1)

Question

Una cadena de Markov {Xn, n 0} con los estados 1, 2,3 tiene la matriz de probabilidad de transición P

$$\begin{bmatrix}0&0.4&0.6\\1&0&0\\0.3&0.3&0.4\end{bmatrix}$$

con una distribución inicial A (0,5,0,0,5), ¿cuál es $$P(X_1=3|X_2=1)$$ ?

(Sé que una propiedad de la cadena de Markov es que el futuro, dado el presente, es independiente del pasado. la pregunta aquí parece que dado el futuro, ¿cuál es la probabilidad del pasado? Me pregunto

$$P(X_1=3|X_2=1)=P(X_1=3)=A_3=0.5$$

o $$P(X_1=3|X_2=1)=P_{13}=0.6$$ ¿o no?

Answer 1

En lugar de intentar adivinar la respuesta, se pueden aplicar las leyes de la probabilidad. Como

1. la matriz de transición $\mathsf P$ se compone de las probabilidades $\mathbb P(X_t=j|X_{t-1}=i)$ como $(i,j)$ entradas,

2. la probabilidad $\mathbb P(X_{t-1}=j|X_{t}=i)$ puede escribirse como $$\mathbb P(X_{t-1}=j|X_{t}=i)=\dfrac{\mathbb P(X_t=i|X_{t-1}=j)\mathbb P(X_{t-1}=j)}{\mathbb P(X_t=i)}$$ por el teorema de Bayes,

3. la probabilidad $\mathbb P(X_t=i)$ puede escribirse como $$\mathbb P(X_t=i)=\sum_{j=1}^3 \mathbb P(X_t=i|X_{t-1}=j)\mathbb P(X_{t-1}=j)$$ por la ley de la probabilidad total,

las probabilidades inversas $\mathbb P(X_{1}=j|X_{2}=i)$ puede derivarse de las entradas de la pregunta de los deberes.