Solución definitiva para la distancia media de un punto exterior a la superficie de una esfera.

Question

Esfera, radio $E$ se centra en el punto $O$ $[0,0,0]$ .

Punto exterior $Q$ está en $[D,0,0]$ .

Puedo cortar la esfera haciendo múltiples cortes planos paralelos a la $YZ$ plano para producir zonas circulares (cuasi-discos) de igual anchura infinita $dx$ y posición $x_i$ . La superficie curva de cada zona tiene la misma superficie. El radio $R_i$ de cualquier zona $i$ se encuentra en el $YZ$ plano y tiene magnitud: $R_i = \sqrt{E^2 - x_i^2} .$

La distancia $L_i$ desde el punto $Q$ a cualquier punto $P_i$ en la zona $i$ viene dado por:- $$L_i = \sqrt{ (D-x_i)^2 + R_i^2} = \sqrt{ D^2 -2Dx_i + x_i^2 + E^2 - x_i^2} = \sqrt{ D^2 -2Dx_i + E^2 } $$ $$L_i = D \sqrt{ 1 -\frac{2x_i}{D} + \frac{E^2}{D^2} }. $$

Ahora quiero integrar esta expresión sobre el rango $-E\cdots+E$ y luego dividir por $2E$ para obtener el valor medio $\bar{L}$ así

$$\bar{L} = \frac{D}{2E} \int_{-E}^{+E} \sqrt{ 1 -\frac{2x_i}{D} + \frac{E^2}{D^2} } dx.$$

Puedo hacer una aproximación en serie de Taylor del término de la raíz cuadrada utilizando la fórmula estándar $(1+x)^{0.5} = 1 + x/2 - x^2/8 + x^3/16 -\cdots$

Aplicando esto al término de la raíz cuadrada obtengo $$ \sqrt{ 1 -\frac{2x_i}{D} + \frac{E^2}{D^2} } = 1-x_i/D + (1/2)E^2/D^2 -(1/2)x_i^2/D^2 + (1/2)x_iE^2/D^3 + \cdots$$ donde los términos subsiguientes en el lado derecho disminuyen en magnitud. Al eliminar los términos con potencias Impares de $x_i$ (porque irán a cero al integrar sobre el rango $-E \le x_i \le +E$ ) y consolidando e integrando llego al siguiente resultado aproximado:-

$$\bar{L} = \frac{D}{2E} \int_{-E}^{+E} \sqrt{ 1 -\frac{2x_i}{D} + \frac{E^2}{D^2} } dx \approx D\left(1 + \frac{E^2}{3D^2} + A\right) $$ donde A es un pequeño término cuya expresión depende del número de términos evaluados en la aproximación de la serie de Taylor. A partir de la modelización numérica parece plausible que el término $A$ desaparece si la serie de Taylor se extiende a infinitos términos y, por tanto, la solución definitiva vendría dada por

$$\bar{L} = D\left(1 + \frac{E^2}{3D^2} \right) = D + \frac{E^2}{3D} $$

MI PREGUNTA

¿Existe una forma de derivar una solución definitiva a este problema?

Answer 1

Para completar el cálculo de las coordenadas esféricas, recordemos que trabajamos con el origen del centro de la esfera unitaria, el radio $1$ [esto se puede reescalar para ajustarse al radio más general de la esfera]. Y que el punto fuera de la esfera sea $P=(0,0,k)$ donde $k>1$ asegura que está fuera de la esfera. La distancia desde cualquier punto $(x,y,z)$ para señalar $P$ es entonces $$f(x,y,z)=\sqrt{x^2+y^2+(k-z)^2}.$$ Entonces se quiere integrar esto sobre la esfera con la parametrización $$x=\sin t \cos \theta,\ y=\sin t \sin \theta, \ z=\cos \theta.$$ No hay que olvidar multiplicar $f(x,y,z)$ por el elemento de volumen $ \sin t$ en coordenadas esféricas como se ha establecido anteriormente. $f(x,y,z)$ se convierte en $\sqrt{k^2+1-2k \cos t}$ y después de multiplicar por $\sin t$ se convierte en una integral simple a través de una sustitución, sea $u$ ser lo que hay debajo del radical, etc. Después de integrar desde $0$ à $\pi$ se convierte, si no me equivoco, $$\frac{(k+1)^3-(k-1)^3}{3k}.$$ Esto podría manipularse aún más en $(6k^2+2)/(3k)$ pero me pareció más bonito en cuanto a la diferencia de cubos.

Corrección añadida: En lo anterior sólo he integrado sobre $t \in [0,\pi]$ pero también debe integrar la constante resultante sobre $\theta \in [0,p\pi]$ para terminar la integral. Entonces que integral debe ser dividida por $4 \pi$ es decir, la superficie de la esfera de radio $1.$ El resultado neto es multiplicar mi respuesta anterior por $1/2$ lo que hace que coincida con la respuesta de steveOw más arriba. [Una vez que mi respuesta se ajusta para utilizar el caso más general del radio de la esfera $E$ y la distancia a la esfera $D$ las dos respuestas coinciden].

Answer 2

Siguiendo las sugerencias de coffeemath y user2566092 encontré la siguiente regla estándar:- $$ \int (ax + b) ^{p/n} = \frac{n}{(n+p)a} (ax + b) ^{1+p/n} +C $$ para $ p = \pm1, \pm2, \cdots p \ne -n .$ (Fuente: Enciclopedia Universal de Matemáticas, página 590; una ecuación similar es aquí ). Aplicando esto a la expresión de $\bar {L}$ $$\bar{L} = \frac{D}{2E} \int_{-E}^{+E} \sqrt{ 1 -\frac{2x_i}{D} + \frac{E^2}{D^2} } dx = \frac{D}{2E} \int_{-E}^{+E} \left[ \left(\frac{-2}{D}\right)x_i + \left(1 + \frac{E^2}{D^2}\right) \right]^{1/2} dx$$ de donde $a=-2/D,b = 1 +(E^2/D^2), p = 1, n = 2$ y así $$\bar{L} = \frac{D}{2E} \frac{2}{3(-2/D)} \left[ \left( \left(\frac{-2}{D}\right)x_i + \left(1 + \frac{E^2}{D^2}\right) \right)^{3/2}+constant\right]_{-E}^{+E} $$ entonces cancelando y eliminando la constante se llega a $$\bar{L} = \frac{-D^2}{6E} \left[ \left( \frac{-2Dx_i+D^2+E^2}{D^2} \right)^{3/2}\right]_{-E}^{+E} = \frac{-D^2}{6E} \left( \frac{1}{D^2}\right) ^{3/2} \left[ \left( -2Dx_i+D^2+E^2 \right)^{3/2}\right]_{-E}^{+E} $$ expandiendo y barajando los signos menos $$\bar{L} = \frac{1}{6DE} \left[ \left(2DE+D^2+E^2 \right)^{3/2} - \left(-2DE+D^2+E^2 \right)^{3/2} \right] $$ esto se simplifica a $$\bar{L} = \frac{1}{6DE} \left[ \left( (D+E)^2 \right)^{3/2} - \left((D-E)^2 \right)^{3/2} \right] = \frac{1}{6DE} \left[ (D+E)^3 -(D-E)^3 \right] $$ y luego $$\bar{L} = \frac{1}{6DE} \left[ 6D^2E +2E^3 \right] = D + \frac{E^2}{3D} $$ y finalmente $$\bar{L} = D \left( 1+ \frac{E^2}{3D^2} \right). $$