¿Por qué es un ángulo recto en el cono de mach?

Question

Esta y otras representaciones similares se utilizan al derivar la ecuación del Cono Mach ángulo $\theta$ .

Se suele afirmar que utilizando el álgebra podemos concluir que $$\sin\theta=\frac{ct}{vt},$$ y por lo tanto $$=\arcsin \left(\frac{c}{v}\right).$$ Sin embargo, me he dado cuenta de que eso supone un ángulo recto entre $ct$ y el frente de onda que nunca se demuestra matemáticamente.

Entonces, ¿puede alguien explicar por qué hay un ángulo recto entre $ct$ ¿y el frente de onda?

Answer 1

Se trata de un teorema estándar de la geometría euclidiana: la tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia. La demostración es una simple prueba por contradicción.

Dado: un círculo $C$ una línea tangente al círculo $T$ y un radio, $R$ desde el centro del círculo hasta el punto de tangencia.

Supongamos: $R$ NO es perpendicular a $T$

Entonces hay algún otro segmento de línea, $S$ desde el centro de $C$ que es perpendicular a $T$ . Desde $S$ es perpendicular a $T$ que hace que $R$ la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Por lo tanto, la longitud de $R$ es mayor que la longitud de $S$ Así que $|R|>|S|$ .

Ahora, excepto el punto de tangencia, todos los demás puntos de $T$ están fuera de $C$ . Desde $C$ se define como todos los puntos a una distancia de $|R|$ del centro, todos los puntos fuera de $C$ son una distancia $x>|R|$ lejos del centro. Como $S$ conecta el centro con tal punto tenemos $|S|>|R|$ .

Pero $|S|>|R|$ contradice $|R|>|S|$ por lo que nuestra suposición es falsa. Por lo tanto $R$ es perpendicular a $T$ . QED