¿Existe una función no negativa no limitada en un espacio métrico compacto tal que $\sup_{\mu \in U} \int Ld\mu < \infty$

Question

Dejemos que $U$ sea la clase de medidas de probabilidad sobre un espacio métrico compacto $S$ (por lo tanto, apretado). ¿Es posible encontrar una función $L:S \to \Bbb R^+$ tal que $L$ no tiene límites y $$\sup_{\mu \in U} \int Ld\mu < \infty$$

Answer 1

La respuesta es no. Para cualquier $L:S \to \Bbb R^+$ basta con considerar una secuencia $(x_n)\subset S$ para lo cual $L(x_n) \to \infty$ . Entonces, podemos definir una secuencia de medidas por $$ \mu_n(A) = \begin{cases} 1 & x_n \in A\\ 0 & x_n \notin A \end{cases} $$ Entonces está claro que $\lim_{n \to \infty} \int L\,d\mu_n = \infty$ .

Answer 2

Dejemos que $f$ medible, positivo e ilimitado. Entonces hay infinitos enteros $n\ge 1$ para los que los subconjuntos $\{ x \ | \ n \le f(x) < n+1\}$ no son vacíos, que estos sean $m_1< m_2 < m_3 < \ldots $ . Claramente $m_k \ge k$ para todos $k$ . Consideremos una medida de probabilidad $\mu$ en $S$ tal que para todo $k\ge 1$ el subconjunto no vacío $\{ x \ | \ m_k \le f(x) <m_k +1\}$ tiene tamaño $\frac{1}{k(k+1)}$ . Entonces $$\int_S f d \mu \ge \sum_{k\ge 1} \frac{m_k}{k(k+1)} \ge \sum_{k\ge 1} \frac{k}{k(k+1)}= \infty$$