Calculando $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{y^3 \sqrt{|x|}}{|x|+y^4}$

Question

Necesito ayuda para calcular $$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{y^3 \sqrt{|x|}}{|x|+y^4}$$

Intenté acotar con la desigualdad AM-GM (o $(\sqrt{|x|}-y^2)^2\geq 0)$, pero no pude continuar porque el término $y^3$ puede ser positivo o negativo, por lo que no puedo multiplicar por $y^3$ para acotar la expresión.

También intenté usar coordenadas polares, pero no pude encontrar una cota para la expresión que dependa de $\theta$.

Se agradecen cualquier pista.

Answer 1

Puedes escribir tu límite como $$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{y^3 \sqrt{|x|}}{|x|+y^4}=\pm\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{|y|^3 \sqrt{|x|}}{|x|+|y|^4}$$ Aquí el $\pm$ es el signo de $y$. Por lo tanto, si el límite a la derecha no es cero, entonces el límite a la izquierda no existe (se puede aproximar desde un $y$ positivo o negativo).

Tu idea con coordenadas polares es buena, pero deberías usar una transformación tal que el denominador no dependa de $\theta$. Para hacerlo, utiliza $|x|=r^2\cos^2\theta$ y $|y|^2=r\sin\theta$, donde $\theta$ está en el primer cuadrante. Entonces $$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{|y|^3 \sqrt{|x|}}{|x|+|y|^4}=\lim_{r\to 0}\frac{(r\sin\theta)^{3/2}r\cos\theta}{r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta}=\sin^{3/2}\theta\cos\theta\lim_{r\to 0}r^{1/2}=0$$

Answer 2

Sea el límite $L$. Poner $\sqrt{|x|} = z \implies |x| = z^2\implies 0 \le \left|\dfrac{y^3\sqrt{|x|}}{|x|+y^4}\right|= \left|\dfrac{y^3z}{z^2+y^4}\right|= |y|\cdot \dfrac{y^2|z|}{y^4+z^2}\le \dfrac{|y|}{2}\implies |L| = 0\implies L = 0$.