Haga $p,q$ existen tales $|p-q|+|a_{p}-a_{q}|=2014$

Question

Dejemos que $\{a_1,a_2,\ldots,a_{2016}\}=\{1,2,3,\ldots,2016\}=A$ ser tal $$\dfrac{a_i-a_j}{i-j}\neq 1,\forall i,j\in A\text{ with } i\neq j.$$ Demuestre que existe $p,q\in A$ tal que $$|p-q|+|a_p-a_q|=2014.$$

Mi enfoque es el siguiente:

Poner $x_i=a_i-i$ entonces tenemos $$\sum_{i=1}^{2016} x_i=\sum_{i=1}^{2016} a_i-\sum_{i=1}^{2016} i=0,|x_j|\le 2016,j=1,2,\cdots,2016$$ y $$\dfrac{a_i-a_j}{i-j}\neq 1,\Longleftrightarrow x_i\neq x_j\forall i,j\in A\text{ with }i\neq j$$ Estoy atascado aquí y no sé cómo proceder. Gracias.

Answer 1

El problema es falso como se ha dicho. Aquí hay un contraejemplo que funciona para cualquier $n=4k$ :

$$\vec a = (\color{red}{4k-1}, \color{blue}{2k-1}, \color{red}{4k-3}, \color{blue}{2k-3}, \ldots, \color{red}{2k+3}, \color{blue}{3}, \color{red}{2k+1}, \color{blue}{1}; \color{green}{4k}, \color{brown}{2k}, \color{green}{4k-2}, \color{brown}{2k-2}, \ldots, \color{green}{2k+2}, \color{brown}{2}).$$

En términos de fórmula esto es: $$a_i = \begin{cases} \color{red}{4k-i},& \text{if $i\le2k$ and $i$ is odd};\\ \color{blue}{2k+1-i},& \text{if $i\le2k$ and $i$ is even};\\ \color{green}{6k+1-i},& \text{if $i>2k$ and $i$ is odd};\\ \color{brown}{4k+2-i},& \text{if $i>2k$ and $i$ is even}. \end{cases}$$

Dejo como ejercicio la comprobación de que se trata de una permutación (nótese que todos los valores impar de $a$ ocurren en la primera mitad, y todos los valores pares ocurren en la segunda).

A continuación comprobamos que $\vec a$ satisface la condición de pendiente. Es evidente que los valores de $a_i-i$ son distintos dentro de cada cláusula, ya que localmente $a_i$ es una línea de pendiente $-1$ no $+1$ . Pero el siguiente cuadro muestra por qué no pueden superponerse cláusulas distintas:

$$\text{$ a_i-i $ is } \begin{cases} \text{even and $>0$},& \text{if $i\le2k$ and $i$ is odd};\\ \text{$\equiv 1 \pmod 4$},& \text{if $i\le2k$ and $i$ is even};\\ \text{$\equiv 3 \pmod 4$},& \text{if $i>2k$ and $i$ is odd};\\ \text{even and $<0$},& \text{if $i>2k$ and $i$ is even}. \end{cases}.$$

Por último, queda por demostrar que $|p-q|+|a_p-a_q| \ne 4k-2$ . De nuevo, dentro de cada cláusula esto es trivial ya que $|p-q|+|a_p-a_q| = 2|p-q| < 4k$ si $p,q$ son de la misma cláusula.

Supongamos que $p,q$ son de diferentes cláusulas (WLOG $p<q$ ) y que $|p-q|+|a_p-a_q| = 4k-2$ . Desde $(p-q)-(a_p-a_q)$ está en paz, $a_p-p$ y $a_q-q$ debe tienen la misma paridad. Volviendo al gráfico anterior, vemos que sólo quedan dos casos por considerar.

Caso 1. $p\le 2k$ , $p$ impar, $q>2k$ , $q$ incluso.

Entonces $a_p = 4k-p > 2k \ge 4k+2-q = a_q$ Así que $|p-q|+|a_p-a_q| = (q-p) + (a_p-a_q) = 2(q-p-1) \equiv 0 \pmod 4$ que no puede ser $4k-2$ .

Caso 2. $p\le 2k$ , $p$ incluso, $q>2k$ , $q$ impar.

Entonces $a_p = 2k+1-p < 2k \le 6k+1-q = a_q$ Así que $|p-q|+|a_p-a_q| = (q-p) + (a_q-a_p) = 4k \ne 4k-2$ .