Prueba de la fórmula de diferenciación implícita multivariable

Question

Si la ecuación $F(x,y,z)=0$ define $z$ implícitamente como una función diferenciable de x e y, entonces tomando una derivada parcial con respecto a una de las variables independientes (en este caso x), se obtiene

$\large F_x(x,y,z)\frac{\partial x}{\partial x}+F_y(x,y,z)\frac{\partial y}{\partial x}+F_z(x,y,z)\frac{\partial z}{\partial x}=0.$

Porque dx/dx = 1 y dy/dx = 0 se puede resolver la derivada parcial deseada:

$\large \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x(x,y,z)}{F_z(x,y,z)} $

Lo de dy/dx = 0 en negrita es lo que no entiendo. Es decir, tiene sentido que una variable independiente no cambie en respuesta a otra, pero no parece muy formal y me parece que hay algo más. Así que básicamente, ¿hay una explicación más formal o detallada o es todo lo que hay?

Answer 1

Pasar de $F(x,y,z)=0$ à $$F_x(x,y,z)\frac{\partial x}{\partial x}+F_y(x,y,z)\frac{\partial y}{\partial x}+F_y(x,y,z)\frac{\partial z}{\partial x}=0\tag{A}$$ es una manipulación formal, sólo estamos aplicando $\frac{\partial}{\partial x}$ a ambos lados de $F(x,y,z)=0$ . Entonces estamos asumiendo que $z$ al menos localmente, puede escribirse como una función (suave) de $x$ y $y$ . Si queremos considerar $\frac{\partial z}{\partial x}$ Podemos recordar lo que significa una derivada parcial/direccional: la tasa de cambio de una función suave a lo largo de una dirección. En concreto $\frac{\partial z}{\partial x}$ cuenta lo que ocurre con $z=z(x,y)$ cuando pasamos de $(x,y)$ à $(x+\varepsilon,y)$ . ¿Qué pasa con $y$ durante este viaje? Absolutamente nada, no cambia. Así que asumiendo $z=z(x,y)$ y recordando el significado geométrico de $\frac{\partial}{\partial x}$ conseguimos que $(A)$ implica $$ F_x(x,y,z)+F_z(x,y,z)\frac{\partial z}{\partial x}=0 \tag{B} $$ como se quería. Observación: habríamos obtenido $(B)$ también asumiendo que $F$ es localmente lineal y no por casualidad. En efecto, las funciones diferenciables son las funciones bien aproximadas por su plano tangente en cualquier punto.

Answer 2

Le pregunté a mi profesor de cálculo exactamente lo mismo y me dijo que como tanto x como y son variables independientes, dy/dx por lo tanto no tiene relación y es 0.