Invertir el orden de un anillo

Question

Cuando pensamos en una estructura ordenada con un orden $\le$ suponemos que hay un orden opuesto $\le^{op}$ también:

• $a \le^{op} b \iff b \le a$ .

Yo sugeriría que este es un principio fundamental para todas las estructuras ordenadas:
Si una estructura se ordena en un sentido $(\le)$ también se ordena en sentido contrario $(\le^{op})$ .

El principio de orden inverso funciona en las estructuras algebraicas más simples:

• Un conjunto ordenado con una operación unaria $f(a) = b$ :
  $a \le b \implies f(a) \le f(b)$ o
  $a \le^{op} b \implies f(a) \le^{op} f(b)$ para cualquier $a,b$ ;
• Un semigrupo ordenado con una operación binaria $f(a,b) = c$ :
  $a \le b \implies f(a,c) \le f(b,c) \land f(c,a) \le f(c,b)$ o
  $a \le^{op} b \implies f(a,c) \le^{op} f(b,c) \land f(c,a) \le^{op} f(c,b)$ para cualquier $a,b,c$ ;
• Un grupo ordenado (igual que un semigrupo ordenado).

Ahora, apliquemos el principio a un anillo ordenado $R(+,\cdot,0,1,\le)$ .

• La regla de compatibilidad para la adición está bien:
  $a \le b \implies a + c \le b + c \land c + a \le c + b$ o
  $a \le^{op} b \implies a + c \le^{op} b + c \land c + a \le^{op} c + b$ para cualquier $a,b,c$ ;

• ¿Pero qué pasa con la regla de compatibilidad de la multiplicación?
  $0 \le a \land 0 \le b \implies 0 \le a \cdot b$ o
  $0 \le^{op} a \land 0 \le^{op} b \implies 0 \le^{op} a \cdot b$ .

Comprobación del último enunciado sobre el anillo de enteros con el orden y las operaciones regulares:
Tomando $a = -1$ y $b = -1$ : $0 \le^{op} -1 \land 0 \le^{op} -1 \implies 0 \le^{op} (-1) \cdot (-1) = 1$ (falso).

Parece que el principio de orden inverso no funciona en los anillos:
Si un anillo se pide en un sentido $(\le)$ no puede ordenarse en sentido contrario $(\le^{op})$ .

¿Es esto correcto?
Si es así, ¿por qué ignoramos el principio de orden inverso para los anillos?
¿Existen definiciones (no estándar) de un anillo ordenado que acepten el orden inverso?

Answer 1

El orden inverso no es coherente con los axiomas de compatibilidad del orden con la estructura del anillo.

Supongamos que se invierte el orden en un anillo con identidad.

Entonces $0\leq^{op} -1$ y del axioma multiplicativo $0\leq^{op} (-1)(-1)=1$ .

A partir del axioma aditivo y $0\leq^{op} -1$ , añadiendo $1$ a las dos partes, se produciría $1\leq^{op} 0$ y de la deducción anterior $1=0$ . Es de suponer que este no es el caso del anillo con el que empezaste, por lo que tienes una contradicción.

---

Nota: Creo que lo que está escrito en el enlace de la wiki que has citado causa bastante confusión. En mi opinión, está mejor escrito en categoría opuesta donde escriben " $x ≤^{op} y$ si y sólo si $y ≤ x$ ." Creo que esto fue la intención de lo escrito en el wiki de órdenes parciales, porque los órdenes parciales pueden ser vistos como categorías, y el orden inverso debería ser la categoría opuesta.

Creo que la razón por la que lo que está escrito en la wiki de pedidos es confuso es que la mayoría de la gente interpretará $a\leq b$ y $b\geq a$ como significado exactamente lo mismo que $b$ es lo más importante. Pero el objetivo del orden inverso es hacer que las cosas grandes sean pequeñas y las pequeñas grandes. Si siguiéramos en la notación sugerida en el wiki del orden, diríamos esto en el orden inverso " $b$ solía ser el más grande, así que ahora en el nuevo orden $a$ es más grande, y escribiré $b\geq a$ ."

Si sólo ves la cosa en medio como un separador, y siempre lo lees como "la cosa de la izquierda es más pequeña" entonces es una descripción correcta del orden inverso. Sólo creo que es extremadamente confundir para invertir tanto las entradas como la dirección del símbolo.