Supongamos que tengo este potencial: $$ \ V(x)= \left\{ \begin{array}{ll} +\infty & x < 0 \\ -V_0 & 0\leq x\leq a\\ 0 & x>a \\ \end{array} \right. \ $$ para $a>0$ y $V_0>0$ . Mi trabajo es demostrar que no hay estados límite para alguna energía, $E<0$ , de tal manera que $V_0<-E$ .
Una forma de hacerlo sería mirar la ecuación independiente del tiempo de Schrodinger:
$$ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}+V(x)\psi(x)=E\psi(x) $$
y simplemente asociar la primera parte con la segunda derivada con la energía cinética y como $E<0$ y $V(x)=-V_0$ que implicaría una energía cinética negativa, pero eso no tiene ningún significado físico, por lo que no hay estados ligados.
Mi problema es con las matemáticas. Aunque eso tiene sentido, si intento resolver la ecuación de alguna manera llego a esto:
$$ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}+V(x)\psi(x)=E\psi(x) \\ \frac{d^2\psi}{dx^2}=\frac{2m}{\hbar^2}(|E|-V_0)\psi(x) $$
que sí tiene solución:
$$ \psi(x<0)=0 \\ \psi(0<x<a)=Ae^{kx}+Be^{-kx} \\ \psi(x>a)=Ce^{-k_1x} $$
para algunas constantes $A$ , $B$ , $C$ y $k^2=\frac{2m}{\hbar^2}(|E|-V_0)$ y $k_1^2=\frac{2m}{\hbar^2}(|E|)$ . Esta es una solución extraña, pero sigue siendo una solución a la ecuación que decae exponencialmente en $x\to \infty$ y ya está $0$ en $x<0$ . ¿Qué me estoy perdiendo y cómo demuestra esto que no hay estados vinculados?
EDITAR:
Después de algunos implicando la continuidad y la suavidad consigo:
$$ \ \left\{ \begin{array}{ll} A+B=0 \\ Ae^{ka}+Be^{-ka}=Ce^{-k_1a} \\ Ake^{ka}-Bke^{-ka}=-Ck_1e^{-k_1a} \\ \end{array} \right. \ $$
De lo cual puedo usar sólo las dos primeras ecuaciones y obtener:
$$ \ \left\{ \begin{array}{ll} A=-B \\ 2A\sinh(ka)e^{k_1a}=C \\ \end{array} \right. \ $$
Permitiéndome escribir:
$$ \psi(x<0)=0 \\ \psi(0<x<a)=2A\sinh (kx) \\ \psi(x>a)=2A\sinh(ka)e^{-k_1(x-a)} $$
Y finalmente con la normalización consigo:
$$ A=\bigg(\frac{1}{k}(\cosh(ak)-1)+\frac{2}{k_1}\sinh^2(ka)\bigg)^{-1/2} $$
que es una mera constante. ¿Qué estoy entendiendo mal?
En cuanto a la energía, puedo dividir las dos últimas ecuaciones y obtener:
$$ \frac{1}{k}\tanh (ka)=-\frac{1}{k_1} \\ \tanh (ka)=-\frac{k}{k_1}\\ \tanh (ka)=-\sqrt{(1-V_0/|E|)}\\ ka=\tanh^{-1}(-\sqrt{1-V_0/|E|}) \\ \frac{2m}{\hbar^2}(|E|-V_0)a^2=(\tanh^{-1}(-\sqrt{1-V_0/|E|}))^2 \\ |E|=V_0+\frac{\hbar^2}{2ma^2}(\tanh^{-1}(-\sqrt{1-V_0/|E|}))^2 $$
