Pendiente de $x$ - $t²$ curva (desplazamiento vs tiempo al cuadrado)

Question

Sé que la pendiente de $x$ vs $t^2$ curva da $\frac{a}{2}$ . ¿Cómo lo pruebo?

Esto es lo que hice:

$x = ut + \frac{at^2}{2}$

$x = \frac{at^2}{2}$ (para $u=0$ )

$\frac{dx}{dt^2} = \frac{a}{2}$

Pero! Aquí asumí que la velocidad inicial es cero. ¿Pero qué pasa si es distinta de cero? Sé que la pendiente seguiría siendo $\frac{a}{2}$ pero, ¿cómo lo pruebo?

Answer 1

Tomando lo que pregunta al pie de la letra, tenemos

\begin{align} \frac{\mathrm d}{\mathrm dt^2} x &= \frac{\mathrm d}{\mathrm dt^2} \left( \frac12 at^2 + ut \right) \\ &= \frac{\mathrm d}{\mathrm dt^2} \left( \frac12 at^2 + u\left(t^2\right)^{1/2} \right) \\ &= \frac 12 a + \frac12 u \left(t^2\right)^{-1/2} \\&= \frac12 \left(a + \frac ut\right) \end{align}

Así que la pendiente asintóticamente se acerca a $a/2$ cuando te alejas lo suficiente de $t=0$ que la velocidad inicial es ignorable. Pero la pendiente nunca es realmente igual a $a/2$ . Es ilustrativo que abras tu programa de ploteo favorito y compares las parábolas de $x=\frac12 at^2 + ut + x_0$ en función de $t$ a la forma tan diferente que adoptan en función de $t^2$ .

Si realmente estás ajustando los datos, te aconsejo regresión polinómica en $x$ frente a $t$ en el que $a/2$ , $u$ y $x_0$ entran como parámetros de primer orden. Lo que estás haciendo es una regresión lineal sobre $x$ frente a $t^2$ que es una técnica analítica superior si tus herramientas de cálculo son una regla y un lápiz. Incluso los programas de hojas de cálculo admiten hoy en día la regresión polinómica.

Answer 2

Si $u=0$ entonces un gráfico de $s$ contra $t$ será una línea recta que pasa por el origen del gradiente $\frac a 2$ .
Usted está comparando $s=\frac 12a \, t^2 +0 $ con la ecuación general de una recta $y=mx+c$ .

Si hay una velocidad inicial, para alinear la gráfica escribe la ecuación como $\frac s t = \frac 12a\,t + u$ y compararlo con $y=mx+c$ .

Así, un gráfico de $\frac s t$ contra $t$ debe ser una línea recta de pendiente $\frac 12 a$ e interceptar en el $\frac st$ eje de $u$ .