¿Por qué podemos utilizar la inducción matemática para demostrar que $2^n \ge n^2$ para $ n \ge 5$

Question

¿Por qué podemos utilizar la inducción matemática para demostrar que $2^n \ge n^2$ para $ n \ge 5$

Normalmente, la demostración por inducción matemática comienza con $n =1$ . ¿Por qué se mantiene cuando empezamos con otros números?

Answer 1

Si insiste, puede definir $$ n = m+4 $$ y comenzar con $m=1$

Answer 2

Si lo prefieres, puedes pensar en la inducción en términos de prueba por contradicción. Para su ejemplo, suponga que hay $n\geq 5$ tal que $2^n<n^2$ . En ese caso, hay un El más pequeño tal $n$ . Llama a eso $k$ .

La definición de $n$ significa $k\geq5$ y el caso base establece que $k\neq5$ .

Por lo tanto, sabemos, por definición de $k$ que $2^{k-1}\geq (k-1)^2$ . De esto obtenemos $$ 2^k=2\cdot 2^{k-1}\geq 2(k-1)^2=2k^2-4k+1=k^2+k(k-4)+1\geq k^2 $$ y tenemos nuestra contradicción (la última desigualdad utiliza que todos los términos son positivos).

No hay nada en esta prueba que dependa de dónde se produce exactamente el caso base. Sólo que establezcamos el caso base y que además elijamos $k$ para ser el valor más pequeño donde la proposición es falsa significa que sabemos que es verdadera para $k-1$ y tenemos nuestra hipótesis de inducción.

Answer 3

Multiplicando $$2^k\geq k^2$$ por $2$ obtenemos $$2^{k+1}\geq 2k^2$$ ahora tienes que demostrar que $$2k^2\geq (k+1)^2$$