Tiramos un dado hasta obtener todos los números de $1$ a $6$ . Encontré el valor esperado de los rollos calculándolo como $X = X_1 + \dots + X_6$ donde $X_i$ es el número de tiradas necesarias para obtener un resultado diferente al anterior $i-1$ y utilizando una distribución geométrica. Y mi resultado es correcto. Pero luego quería encontrar una varianza. Primero pensé en hacerlo de esta manera: $$\text{Var} (X_1 + \dots + X_6) = \text{Var}(X_1) + \dots + \text{Var}(X_6) + 2 \sum_{1\le i<j\le6} \text{Cov}(X_i, X_j),$$ pero la covarianza no es fácil de encontrar aquí. ¿Puede alguien mostrarme cómo encontrar la varianza del número de tiradas de dados?
Respuestas
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Nikolai Prokoschenko
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Sólo para dar una respuesta explícita para apuntar una pregunta posterior aquí:
La varianza para el problema del recaudador de cupones de recoger todos $n$ cupones distintos e igualmente probables es simplemente la suma de los $n$ diferentes distribuciones geométricas varianzas por lo que es $$\sum_{k=1}^n \left(\left(\frac n k\right)^2 - \frac n k\right)$$
Con $n=6$ esta variación es exactamente $38.99$ por lo que la desviación estándar es de aproximadamente $6.2441973$ que parece bastante grande si se tiene en cuenta que la expectativa es $14.7$ . De los $38.99$ la parte de la varianza asociada al cobro del cupón final es $30$ .
Una aproximación a la varianza es $$\frac{\pi^2}{6}n^2 - (\log_e(n)+1+\gamma)n - \frac{1}{12 n}$$ donde $\gamma \approx 0.5772156649$ es la constante de Euler-Mascheroni. Con $n=6$ se trata de $38.9898867$
La covarianza es fácil, su $X_i$ son independientes.
Supongamos que tiras el dado hasta que hayas visto $i$ diferentes números. La probabilidad de obtener uno de los $6-i$ números restantes en la siguiente tirada es $1-\frac i6$ . No importa qué $i$ números que ha visto o cuántas tiradas ha hecho.
Por lo tanto, el $X_i$ son geométricas desplazadas independientes media $\frac 1{p_i}$ y la varianza $\frac{1-p_i}{p_i^2}$ donde $p_i = 1- \frac i6$ .
Como son independientes las covarianzas son $0$ y puedes simplemente sumar las desviaciones.
