¿Son las categorías de Fukaya categorías de Calabi-Yau?

Question

Sea X una variedad simpléctica compacta. Existe una idea, creo que probablemente debida originalmente a Kontsevich, de que deberíamos ser capaces de obtener invariantes de Gromov-Witten de X a partir de la categoría de Fukaya de X. Una posible aproximación para hacer esto es a través del teorema demostrado por Costello (creo que también hay un resultado similar de Kontsevich-Soibelman? ) de que una categoría de Calabi-Yau determina un TCFT, que a su vez debería determinar los invariantes de Gromov-Witten de X --- o al menos algo parecido a los invariantes de Gromov-Witten de X. Pero para que esto pueda siquiera empezar, necesitamos que la categoría de Fukaya de X sea una categoría de Calabi-Yau (puedes encontrar la definición de categoría CY en El documento de Costello al principio de la sección 2).

Por lo tanto: ¿Se sabe que la categoría de Fukaya de una variedad compacta simpléctica es una categoría de Calabi-Yau? ¿Qué se supone que es el mapa de trazas?

Answer 1

A primera vista, la categoría Fukaya tiene una evidente simetría cíclica, ya que la $A_\infty$ Los mapas de estructura cuentan puntos en espacios de polígonos rígidos pseudoholomórficos sujetos a condiciones de contorno lagrangianas, y estos espacios dependen sólo del orden cíclico de los lagrangianos. Esto demuestra, en efecto, que la categoría cohomológica de Fukaya, en la que los hom-espacios son Floer cohomología espacios, es cíclicamente simétrico.

El problema viene cuando estos lagrangianos no se cruzan transversalmente -por ejemplo, el mismo lagrangiano aparece más de una vez- porque entonces los espacios de morfismo y los mapas de estructura invocan perturbaciones hamiltonianas que no tienen por qué ser cíclicamente simétricas. El problema que Fukaya ha resuelto sobre los reales (véase la respuesta de Matthew Ballard) es, supongo, encontrar una manera de hacer que estas perturbaciones sean cíclicamente simétricas y, al mismo tiempo, lograr la coherencia necesaria entre ellas, así como la transversalidad para los espacios de módulos compactados de polígonos pseudoholomórficos no homogéneos (o peor, sus perturbaciones abstractas). Estas son las cosas que en realidad definir el $A_\infty$ -Estructura.

FOOO funcionó extremadamente difícil obtener unidades geométricamente significativas en sus álgebras de endomorfismo de Fukaya, mientras que otros autores se contentan con definir unidades ajustando el $A_\infty$ -estructura algebraica. Mi esperanza sería que el álgebra también diera una aproximación más barata a la simetría cíclica, sobre todo porque me han dicho que para que se cumpla el teorema de Costello, sólo se necesita una simetría cíclica "derivada".

Por cierto, dejemos claro que el teorema de Costello, por muy sugerente que sea, ¡no trata de invariantes de GW! Se trata de teorías sobre $M_{g,n}$ no sobre $\overline{M}_{g,n}$ .

Answer 2

Creo que la afirmación correcta, en la actualidad, es que no está establecido pero está cerca. Fukaya tiene un preimpresión dando un modelo para la cohomología de Floer de un Lagrangiano que tiene un emparejamiento a nivel de cadena que es cíclicamente simétrico. Se está trabajando para extenderlo a toda la categoría de Fukaya.