Demuestre que si $p,q,r,s$ son números reales y $pr=2(q+s)$ entonces al menos una de las ecuaciones $x^2+px+q=0$ y $x^2+rx+s=0$ tiene verdaderas raíces.

Question

Demuestre que si $p,q,r,s$ son números reales y $pr=2(q+s)$ entonces al menos una de las ecuaciones $x^2+px+q=0$ y $x^2+rx+s=0$ tiene verdaderas raíces.

Mi intento de solución

sabemos que tiene una solución real d>=0 por lo que o bien

1) $p^2-4q>=0$

o

2) $r^2-4s>=0$

o ambos son verdaderos.

Reordenando obtenemos $(pr)^2 \geq 16qs$ sustituyéndolo en la primera ecuación obtenemos $16qs\geq4q^2 +4s^2 +8qs$ Así que obtenemos $0\geq(q-s)^2$ por lo que obtenemos $q=s$ . Ahora que hacer ¿hay alguna otra forma de resolver esto?

Answer 1

Dada: $pr = 2(q+s)$ . Para probar: o bien $p^2 - 4q \geq 0$ o $r^2 - 4s \geq 0$ . Lo mejor es argumentar por contradicción - asumir que ambos $p^2 - 4q < 0$ y $r^2 - 4s < 0$ . Entonces al reordenar y sumar las desigualdades, $$ \begin{array}{rcl} p^2 + q^2 &<& 4r + 4s \\ \frac{p^2 + q^2}{2} &<& 2(r + s) \end{array} $$ ¿Puedes ver cómo terminar desde aquí? I

Espero que esto ayude.