Teorema de Pascal por el teorema de Bezout

Question

Necesito demostrar el siguiente teorema

Que el hexágono $ABCDEF$ estar inscrita en la cónica no degenerada $q=V(f)$ . Supongamos que $A,B,C,D,E,F$ son distintos. Sea $P=\overline{FA}\cap \overline{CD}, Q=\overline{AB}\cap \overline{DE}$ y $R=\overline{BC}\cap \overline{EF}$ . Demostrar que $P, Q$ y $R$ son colineales.

Tengo que hacerlo en dos pasos, en el primer paso tomamos $G\in q$ para ser cualquier otro punto y entonces necesito demostrar que hay una cúbica homogénea $c$ para que $V(c)$ se desvanece en $G$ y en $A,B,C,D,E,F,P,Q,R$ .

Entonces tengo que demostrar que $V(c)$ es la unión de $q$ y una línea $l$ y que $l$ pasa por $P,Q$ y $R$ .

No estoy seguro de cómo construir la cúbica requerida $c$ .

Answer 1

El camino más directo para demostrar esto (como se menciona más adelante en los comentarios) es utilizar el teorema de Bezout, como se ve aquí: http://en.wikipedia.org/wiki/Pascal%27s_theorem#Proof_using_B.C3.A9zout.27s_theorem

Otra forma de demostrar el Teorema de Pascal es utilizando el Teorema de Cayley-Bacharach. De hecho, la demostración del teorema de Cayley-Bacharach utiliza el teorema de Bezout unas cuantas veces.

Divida su conjunto de 6 líneas en dos conjuntos de tres, llámelos $X$ y $Y$ , de tal manera que $X\cap Y$ son exactamente los 9 puntos $A,B,C,D,E,F,P,Q,R$ . $X$ y $Y$ son cada uno de los cúbicos degenerados. Ahora definamos $Z$ como la unión de la cónica $q$ y la línea que pasa por $P$ y $Q$ . $Z$ también es una cónica, y pasa por 8 de los 9 puntos de intersección de $X$ y $Y$ por lo que, por el Teorema de Cayley-Bacharch, debe contener el $9^{th}$ punto (que es $R$ en este caso). Esto significa que $R$ tiene que estar en la línea que pasa por $P$ y $Q$ es decir, los tres puntos son colineales.