Teorema 10.2 de la teoría de los anillos conmutativos de Matsumura

Question

Estoy leyendo "Teoría de los anillos conmutativos, Matsumura, pero no entiendo la demostración del teorema 10.2 del capítulo 4. Así que, por favor, mi pregunta.

La declaración es la siguiente:

Dejemos que $K$ sea un campo, $A\subset K$ un subring, y $p$ un ideal primo de $A$ . Entonces existe un anillo de valoración $R$ de $K$ satisfaciendo $R\supset A$ y $m_R\cap A=p$ .

Para demostrarlo, sustituimos $A$ por $A_p$ . Mis preguntas son:

(*) ¿Por qué es suficiente mostrar cuando $A$ es local y $p$ es el ideal máximo?

Gracias.

Answer 1

Imagina que somos capaces de hacer esto para $A_p$ es decir, hay un anillo de valoración $R$ de $\operatorname{Frac}A_p$ tal que $A_p\subseteq R$ y $m_R\cap A_p = pA_p$ . Pero $\operatorname{Frac}A_p = K$ , $A\subseteq A_p$ y $pA_p\cap A = p$ . Así que el mismo $R$ hace el truco.