Una pregunta sobre la convergencia de la secuencia: he probado el método de Cauchy, pero no funciona.

Question

Supongamos que $a_n>0$ y $\sum_{i=0}^\infty a_i$ es convergente, por lo que tenemos que demostrar $\sum_{n=1}^\infty{ {1\over n}(a_n+a_{n+1}+\cdots+a_{2n})}$ también es convergente.

He probado el método de Cauchy, pero quizá no funcione. ¡la mayoría de los métodos normales han sido probados por mí, pero siempre estoy atascado!

Answer 1

$\displaystyle\sum_{i=0}^\infty a_i$ es convergente y por lo tanto hay $N$ tal que para todo $n>N$ y todos $m\geq 1$ que tenemos: $$ a_{n+1}+\dots+a_{n+p}<\epsilon. $$ En este caso tenemos: $$ { {1\over n+1}(a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_{2n+2})}+\dots+{ {1\over n+p}(a_{n+p}+a_{n+p+1}+\cdots+a_{2n+2p})}\\ \leq {1\over n+1}\epsilon+\dots+ {1\over n+p}\epsilon\leq \frac{p}{n+p}\epsilon\leq \epsilon. $$ Esto significa que la segunda serie satisface el criterio de convergencia de Cauchy y es convergente.