¿Es toda álgebra de Lie de dimensión finita el álgebra de Lie de un grupo algebraico?

Question

Harold Williams, Pablo Solís y yo estábamos charlando y surgió la siguiente pregunta.

En la tierra de los grupos de Lie (donde estás haciendo geometría diferencial), dado un álgebra de Lie de dimensión finita g puede encontrar una representación fiel g → End(V) por el teorema de Ado. Entonces se puede tomar el grupo generado por la exponenciación de la imagen para obtener un grupo de Lie G⊆GL(V) cuya álgebra de Lie es g . Creo que esto es correcto, pero por favor dígame si hay un error.

Este argumento se basa en el mapa exponencial, que no tenemos en el entorno algebraico. ¿Existe algún otro argumento para demostrar que cualquier álgebra de Lie de dimensión finita g es el álgebra de Lie de algún algebraico (un subgrupo cerrado de GL(V) recortado por polinomios)?

Answer 1

Si una subálgebra de Lie de $\mathfrak{gl}(V)$ es el álgebra de Lie de un grupo algebraico, entonces contiene los factores semisimples y nilpotentes de cualquier elemento.

Hay una álgebra de Lie de cinco dimensiones para la que esto falla, que se puede encontrar en Bourbaki Grupos y álgebras de Lie I, 5, Ejercicio 6, o en 1.25 y 3.42 de mis notas Álgebras de Lie, grupos algebraicos y grupos de Lie .

Answer 2

Una subálgebra de Lie de $\mathfrak{gl}(n,k)$ que es el álgebra de Lie de un subgrupo algebraico de $GL(n,k)$ se llama subálgebra algebraica. Aparentemente hay subálgebras de Lie que no son algebraicas, incluso en la característica cero. Si $\mathfrak{g}$ es el álgebra de Lie de un grupo algebraico afín, entonces debe ser ad-algebraica, es decir, su imagen en $\operatorname{End}(\mathfrak{g})$ bajo la representación adjunta debe ser una subálgebra algebraica. En la página 385 de Álgebras de Lie y grupos algebraicos de Tauvel y Yu.

Answer 3

Siento incorporarme tan tarde a esta conversación, pero creo que merece la pena señalar algunos de los papeles sobre la cuestión (complementando el comentario de BCnrd). Esto se remonta al trabajo inicial de Chevalley en los años 50, especialmente en el volumen II (en francés) de su proyectada obra en seis volúmenes Teoría de los grupos de Lie . El primer volumen (en inglés) fue publicado por Princeton Press, luego siguieron el II y el III, pero no más; su seminario de París de 1956-58 cambió todo el enfoque de los grupos algebraicos lineales e ignoró en gran medida las álgebras de Lie. En la sección 14 del II, trabajando sobre un campo arbitrario de característica 0, Chevalley se pregunta qué subálgebras de Lie $\mathfrak{g} \subset \mathfrak{gl}(V)$ (con $\dim V < \infty$ ) pueden ser álgebras de Lie de subgrupos cerrados del grupo lineal general. Ha elaborado una serie de buenas características de la único subálgebra algebraica más pequeña que contiene $\mathfrak{g}$ tiene la misma álgebra derivada que $\mathfrak{g}$ por ejemplo. De hecho, el álgebra derivada de cualquier $\mathfrak{g}$ es algebraico.

Algunas de estas ideas fueron anotadas por Borel (Sección 7) y por mí (Cap. V) en nuestros textos de posgrado de Springer, trabajando sobre un campo algebraicamente cerrado de característica 0 (mi tratamiento vino de las notas anteriores de Bass/Borel). Estas fuentes incluyen otras referencias a trabajos de Hochschild y otros, junto con el tratamiento más teórico del libro de 1970 de Demazure y Gabriel: II, Sección 6, nº 2. Suponen $k$ es un campo y $\mathfrak{G}$ es un " $k$ -groupe localement algebrique" con un álgebra de Lie apropiada adjunta, para luego estudiar posibles subálgebras algebraicas.

En característica primera, la noción de álgebra de Lie algebraica se vuelve mucho más problemática. Véase el libro de Seligman de 1965 Álgebras de Lie modulares VI.2, para una discusión discusión. Por ejemplo, el álgebra de Lie $\mathfrak{sl}(p,k)$ suele ser simple módulo de su centro unidimensional, pero el álgebra cociente no puede ser algebraica ya que entonces sería el álgebra de Lie de un grupo algebraico simple conocido. Aún más extremas son las álgebras de Lie extra simples de "tipo Cartan" (y otras para primos pequeños), para las que no hay grupos correspondientes. `

Answer 4

Dejemos que ${\mathbb R}$ actuar ${\mathbb R}^2$ por rotación a la velocidad de la unidad, y en un segundo ${\mathbb R}^2$ por la rotación a una velocidad irracional. Sea $G$ sea el producto semidirecto (resoluble) ${\mathbb R} \ltimes {\mathbb R}^4$ . Entonces las órbitas coadyuvantes de $G$ puede no estar cerrado localmente. No creo que eso deba ocurrir en el caso algebraico.

Answer 5

Recomiendo http://eom.springer.de/l/l058380.htm .