Relación entre la característica de Euler y los grupos de homología del complejo CW

Question

Estaba intentando resolver este ejercicio del libro de Topología y Geometría de Brendon:

Si $X$ es un finito $CW$ -complejo de dimensión $2$ y si $X$ es simplemente conectado, entonces demuestre que $\chi(X)$ determina $H_2(X)$ por completo. ¿Cuáles son los posibles valores de $\chi(X)$ en este caso?

Lo que hice fue utilizar ese $X$ es un camino conectado, entonces $H_0(X)=\mathbb Z$ y $X$ simplemente conectado implica $H_1(X)=0$ Entonces tengo $rank~ H_2(X)=\chi(X)-1$ se deduce que $\chi(X)\geq 1$ . Pero no veo cómo determinar $H_2(X)$ sólo por su rango.

¿Algún consejo sobre cómo proceder?

Gracias de antemano.

Answer 1

Sugerencia: Intente describir $H_2(X)$ en términos del complejo de cadenas celulares de $X$ utilizando el hecho de que $X$ no tiene 3 celdas.

A continuación se oculta la respuesta completa.

Desde $X$ es bidimensional, $H_2(X)$ es sólo el núcleo de la diferencial $C_2(X)\to C_1(X)$ en el complejo de la cadena celular (ya que $C_3(X)=0$ ). Así que $H_2(X)$ es un subgrupo de $C_2(X)$ y como $C_2(X)$ es gratis, $H_2(X)$ debe ser libre también. Por lo tanto, está determinada hasta el isomorfismo por su rango.