¿Cómo especificar los términos de carbono atómico en la representación acoplada y desacoplada?

Question

Así, sabemos que el carbono atómico en la configuración electrónica $1s^22s^22p^2$ tiene los siguientes términos

$${}^1S, {}^1D, {}^3P$$

Mi pregunta es: ¿cómo puedo especificar correctamente estos términos en los términos de las representaciones acopladas y desacopladas?

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Mi intento

Así que, en el caso de los términos, sólo estamos considerando el momento angular orbital, no el giro. Debido a esto, podemos describir los términos individuales en el representación acoplada $\left|L, M_L\right>$ que se corresponden con la combinación lineal de microestados, es decir, el representaciones desacopladas $\left|m_{l1}, m_{l2}\right>$ utilizando los coeficientes de Clebsch-Gordan.

Para ${}^1S$ término es bastante fácil, ya que $L=0$ y $M_L=0$ (como se describe en esta respuesta ):

$$\begin{align}{}^1S: |L = 0, M_L = 0\rangle &= \frac{1}{\sqrt 3} |m_{l1}= 1, m_{l2} = -1\rangle + \frac{1}{\sqrt 3} |-1, 1\rangle - \frac{1}{\sqrt 3} |0, 0\rangle\\ &= \frac{1}{\sqrt{3}} \left| 8 \right> + \frac{1}{\sqrt{3}} \left| 11 \right> - \frac{1}{\sqrt{3}}\left| 14 \right >\end{align}$$

En la última expresión se especifican las funciones de onda con los índices de la tabla de microestados de abajo.

Pero más adelante la cosa se complica: ambos ${}^3P$ y ${}^1D$ contendrá múltiples estados. $P$ se corresponde con $L=1$ y así $M_L \in \left\{ -1, 0, 1 \right\}$ . Supongo, que sus representaciones acopladas son $\left| L=1, M_L=-1\right>, \left| L=1, M_L=0\right>, \left| L=1, M_L=1\right>$ .

$$\begin{align} {}^3P: \left| L=1, M_L=-1\right> &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left| -1, 0 \right> + \frac{1}{\sqrt{2}}\left| 0, -1 \right>\\ &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left| 2 \right> + \frac{1}{\sqrt{2}}\left|5 \right>\\ \left| L=1, M_L=0\right> &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left| 1, -1 \right> - \frac{1}{\sqrt{2}}\left| -1, 1 \right>\\ &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left| 3 \right> - \frac{1}{\sqrt{2}}\left|6 \right>\\ \left| L=1, M_L=1\right> &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left| 1, 0 \right> - \frac{1}{\sqrt{2}}\left| 0, 1 \right>\\ &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left| 1 \right> - \frac{1}{\sqrt{2}}\left|4 \right> \end{align} $$

${}^1D$ se corresponde con $L=2$ y $M_L \in \left\{ -2,-1,0,1,2 \right\}$ .

$$\begin{align} {}^1D:\left| L = 2, M_L = -2 \right> &= \left| -1, -1 \right> = \left| 15\right>\\ \left| L = 2, M_L = -1 \right> &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left| 0, -1 \right> + \frac{1}{\sqrt{2}}\left|-1, 0 \right> \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left| 10 \right> + \frac{1}{\sqrt{2}}\left| 12 \right>\\ \left| L = 2, M_L = 0 \right> &= \frac{1}{\sqrt{6}}\left|1, -1 \right> + \sqrt{\frac{2}{3}}\left| 0, 0 \right> + \frac{1}{\sqrt{6}}\left| -1, 1 \right> \\ &= \frac{1}{\sqrt{6}}\left| 8 \right> + \sqrt{\frac{2}{3}}\left|14 \right> + \frac{1}{\sqrt{6}}\left| 11 \right> \\ \left| L = 2, M_L = 1 \right> &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left| 1, 0 \right> + \frac{1}{\sqrt{2}}\left| 0, 1 \right>\\ &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left|7 \right> + \frac{1}{\sqrt{2}}\left|9 \right> \\ \left| L = 2, M_L = 2 \right> &= \left| 1, 1 \right> = \left| 13 \right> \end{align} $$

¿Es este el enfoque correcto o lo he entendido mal?

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Tabla de microestados

Answer 1

Intentaré ilustrar el procedimiento para dos de los nueve estados que forman el término símbolo $^3P$ . Este símbolo del término tiene $S = 1$ y $L = 1$ lo que hace que haya tres valores posibles de $M_S$ y tres posibles valores de $M_L$ para un total de nueve estados. Estos estados están "acoplados" tanto en la dimensión de espín como en la espacial:

$$|S,M_S,L,M_L\rangle = |1,+1,1,+1\rangle, |1,0,1,+1\rangle, \cdots$$

Los microestados de la tabla son estados que están "desacoplados" en ambas dimensiones:

$$|m_{s1},m_{s2},m_{l1},m_{l2}\rangle = |{+1/2}, {+1/2}, {+1}, {+1}\rangle, \cdots$$

Para pasar de los símbolos de término ("doblemente acoplado" - no utilices esta terminología, me la he inventado) a los microestados ("doblemente desacoplado"), tenemos que convertir tanto las componentes de espín como las espaciales de representaciones acopladas a desacopladas.

Afortunadamente, los componentes espaciales y de espín son separables, por lo que podemos escribir

$$|S,M_S,L,M_L\rangle = |S,M_S\rangle \cdot |L,M_L\rangle$$

Desacoplar la parte del giro es bastante sencillo:

$$\begin{align} |S=1,M_S=+1\rangle &= |\alpha(1)\alpha(2)\rangle \\ |S=1,M_S=0\rangle &= \frac{1}{\sqrt 2}\left\{|\alpha(1)\beta(2)\rangle + |\beta(1)\alpha(2)\rangle\right\} \\ |S=1,M_S=-1\rangle &= |\beta(1)\beta(2)\rangle \\ \end{align}$$

donde $|\alpha\rangle$ denota $m_s = +1/2$ y $|\beta\rangle$ denota $m_s = -1/2$ como siempre.

Para las partes espaciales, tendrás que utilizar los coeficientes de Clebsch-Gordan para expandir $|L,M_L\rangle$ en términos de las "representaciones desacopladas" $|m_{l1},m_{l2}\rangle$ . Parece que ya lo has entendido. Para fines ilustrativos usaremos

$$|L = 1, M_L = +1\rangle = \frac{1}{\sqrt 2}(|m_{l1} = +1, m_{l2} = 0\rangle - |m_{l1} = 0, m_{l2} = +1\rangle)$$

y simplificaremos la notación denotando $m_l = +1, 0, -1$ como $p^+, p^0, p^-$ respectivamente, así que:

$$|L = 1, M_L = +1\rangle = \frac{1}{\sqrt 2}\left\{|p^+(1)p^0(2)\rangle - |p^0(1)p^+(2)\rangle\right\}$$

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Ahora, digamos que queremos encontrar el microestado correspondiente a $|S,M_S,L,M_L\rangle = |1,+1,1,+1\rangle$ . Lo que tenemos que hacer es expandir ambos componentes, el de espín y el espacial, en términos de sus respectivas representaciones desacopladas, y luego multiplicarlas de nuevo.

$$\begin{align} &|S=1,M_S=+1\rangle \cdot |L = 1, M_L = +1\rangle \\ &\qquad = |\alpha(1)\alpha(2)\rangle \cdot \frac{1}{\sqrt 2}\left\{|p^+(1)p^0(2)\rangle - |p^0(1)p^+(2)\rangle\right\} \\ &\qquad = \frac{1}{\sqrt 2} \left\{|p^+(1)\alpha(1)p^0(2)\alpha(2)\rangle - |p^0(1)\alpha(1)\,p^+(2)\alpha(2)\rangle\right\} \end{align}$$

Obsérvese que se trata de un estado (convenientemente antisimétrico) en el que un electrón está en $p^+$ con espín hacia arriba, y el otro electrón está en $p^0$ con giro hacia arriba. Esto corresponde exactamente a microestado 1 .

Aunque los microestados son estados desacoplados, no significa que no sean antisimétricos. En virtud de la indistinguibilidad cuántica, tienen que ser antisimétricos: por eso la mayoría de los microestados son combinaciones lineales de "estados compuestos" como $|p^+(1)\alpha(1)p^0(2)\alpha(2)\rangle$ (dicho estado por sí mismo no es físicamente permisible, mientras que los microestados son estados físicamente permisibles).

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Para un caso más feo pero más instructivo, veamos $|S,M_S,L,M_L\rangle = |1,0,1,+1\rangle$ .

$$\begin{align} &|S=1,M_S=0\rangle \cdot |L = 1, M_L = +1\rangle \\ &\qquad = \frac{1}{\sqrt 2}\left\{|\alpha(1)\beta(2)\rangle + |\beta(1)\alpha(2)\rangle\right\} \cdot \frac{1}{\sqrt 2}\left\{|p^+(1)p^0(2)\rangle - |p^0(1)p^+(2)\rangle\right\} \\ &\qquad = \frac{1}{2} \left\{ |p^+(1)\alpha(1)p^0(2)\beta(2)\rangle - |p^0(1)\beta(1)p^+(2)\alpha(2)\rangle + |p^+(1)\beta(1)p^0(2)\alpha(2)\rangle - |p^0(1)\alpha(1)p^+(2)\beta(2)\rangle \right\} \end{align}$$

Obsérvese que los dos primeros términos de esta expansión describen un estado (antisimétrico) en el que un electrón de espín alto está en $p^+$ y un electrón de espín negativo está en $p^0$ . Esto corresponde a microestado 7 . Asimismo, los dos segundos términos corresponden a microestado 9 . En definitiva, podemos escribir:

$$|S = 1, M_S = 0, L = 1, M_L = +1\rangle = \frac{1}{\sqrt 2}(|7\rangle + |9\rangle)$$

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Siguiendo este procedimiento, puede recorrer el resto de los estados en $^3P$ (y de hecho, $^1S$ y $^1D$ también). Como último ejemplo, veamos uno de los cinco $^1D$ estados:

$$\begin{align} &|S = 0, M_S = 0, L = 2, M_L = 0\rangle \\ &\qquad = |S = 0, M_S = 0\rangle \cdot |L = 2, M_L = 0\rangle \\ &\qquad = \frac{1}{\sqrt 2}\left\{|\alpha(1)\beta(2)\rangle - |\beta(1)\alpha(2)\rangle\right\} \cdot \\ &\qquad\qquad\qquad \left[\frac{1}{\sqrt 6}\left\{|p^+(1)p^-(2)\rangle + |p^-(1)p^+(2)\rangle \right\} + \sqrt{\frac{2}{3}}|p^0(1)p^0(2)\rangle \right] \\ &\qquad = \frac{1}{\sqrt{12}}\left\{ |p^+(1)\alpha(1)p^-(2)\beta(2)\rangle - |p^-(1)\beta(1)p^+(2)\alpha(2)\rangle \right\} \\ &\qquad \qquad + \frac{1}{\sqrt{12}}\left\{ |p^-(1)\alpha(1)p^+(2)\beta(2)\rangle - |p^+(1)\beta(1)p^-(2)\alpha(2)\rangle \right\} \\ &\qquad \qquad + \frac{1}{\sqrt{3}}\left\{ |p^0(1)\alpha(1)p^0(2)\beta(2)\rangle - |p^0(1)\beta(1)p^0(2)\alpha(2)\rangle \right\} \\ \end{align}$$

La primera línea de esta expansión corresponde a $(\sqrt{1/6}|8\rangle)$ el segundo a $(\sqrt{1/6}|11\rangle)$ y la tercera a $\sqrt{2/3}|14\rangle$ . Por lo tanto, su expansión era correcta; sin embargo, tenga cuidado, porque las representaciones desacopladas de las funciones de onda espaciales

$$|m_{l_1} = +1, m_{l2} = -1\rangle$$

no se corresponden con los microestados. En cambio, sólo multiplicando ésta por la función de onda de espín se puede obtener una función de onda que corresponda a los microestados.